2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение21.12.2016, 21:06 
Справочное пособие по методам решения задач по математике, А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский, 1984 г. (Глава 14, параграф 3) писал(а):
Натуральная степень суммы двух величин вычисляется по формуле $$ (a+b)^n=C^0_na^n+C^1_na^{n-1}b+C^2_na^{n-2}b^2+ \dots +C^m_na^{n-m}b^m+ \dots +C^n_nb^n. \eqno{(1)}$$
Правая часть формулы называется разложением степени бинома. Коэффициенты $C^m_n=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$ называются биномиальными коэффициентами. Общий вид слагаемых в правой части формулы $(1)$ обычно записывают в виде
$$T_k=C^k_na^{n-k}b^k,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n. \eqno {(2)}$$
Число всех слагаемых равно $n+1$.

Разве приведённая формула k-го члена разложения верна?
Например, из неё следует, что в разложении $(a+b)^n$ первый член равен $C^1_na^{n-1}b$, хотя он в действительности не содержит $b$. Получается, по логике этого учебника, одночлен, стоящий первым в разложении бинома ($a^n$), является нулевым членом разложения. (Соответственно, что стоит вторым - первый член, что стоит третьим - второй член, ... и т.д.) Это разве правильно (или так просто принято? (или принято только в этом учебнике :roll: ))?
По-моему, правильно так: $T_k=C^{k-1}_na^{n-k+1}b^{k-1}$ или $T_{k+1}=C^k_na^{n-k}b^k$. Да?

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение21.12.2016, 21:15 
Там написано, как $k$ меняется. Вовсе не с единицы.

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение21.12.2016, 22:05 
Ну да, с нуля. Просто, в других источниках (учебниках) под $T_k$ имеют в виду член, стоящий на $k$-м месте. А здесь $T_0$ - стоящий на 1-ом месте, $T_1$ - стоящий на 2-ом месте и т.д.

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение21.12.2016, 22:08 
Как чего назовешь, так оно и поплывет.
Назвали нулевым. Вполне естественная нумерация, в порядке возрастания степени вхождения $b$ в мономы.

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 03:26 
Вот никогда не понимал искусственное приведение интервалов к начинающимся по вкусам автора либо всем с нуля, либо всем с единицы — ну ведь разное удобнее в разных случаях.

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 07:33 
Аватара пользователя
В формуле указаны зависимость слагаемых от индекса и мешок множество индексов. Никто не заставляет слагать складываемые в каком-то порядке. Первым можно поставить любой член, например с индексом $2$ или $n-1.$

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 07:48 
Значит, итог таков, что в разных источниках сочетание слов "$k$-ый член разложения" может подразумевать не одно и то же? Если, например, на экзамене встретится это сочетание, как понять, что там имеется в виду? (Не на ЕГЭ каком-нибудь, когда понятно, что объяснял преподаватель на уроках - то и имеется в виду, а, например, на экзамене в ВУЗ)
arseniiv в сообщении #1179094 писал(а):
ну ведь разное удобнее в разных случаях.

Получается, это "удобнее" к разногласиям приводит...
bot в сообщении #1179107 писал(а):
Никто не заставляет слагать складываемые в каком-то порядке.

Судя по большому количеству задач на бином Ньютона типа "Найти $k$-ый член разложения ...", заставляют...

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 08:01 
Аватара пользователя
eee\ в сообщении #1179108 писал(а):
Найти $k$-ый член разложения

Да, это неудачная формулировка.

-- Чт дек 22, 2016 11:04:42 --

Но что-то в больших количествах я таких задач не припоминаю. Обычно смысл спрашиваемого легко усматривается из контекста или, в конце концов, из ответа.

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 08:35 
Аватара пользователя
Так ведь и по определению натуральных чисел есть разногласия - является ли 0 натуральным числом...
В общем, это вопрос соглашения.

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 09:07 
Аватара пользователя
Когда ряды рассказывал, обычно сразу предупреждал, что под $k$-м членом всегда (если специально не скажу другого) буду предполагать член с индексом $k$. Иначе путаница будет не только из-за разногласия с натуральностью нуля. Вот, скажем, $-\frac{x^3}{3!}$ - это какой член разложения синуса по формуле Тейлора, третий или четвёртый?

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 09:14 
Аватара пользователя
bot в сообщении #1179119 писал(а):
третий или четвёртый?

Я б сказал, что второй.

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 09:48 
Аватара пользователя
:D Эта ненаучная гипотеза в мыслях было, но вслух произнести побоялся.

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 09:58 
Аватара пользователя
bot в сообщении #1179119 писал(а):
третий или четвёртый?

Третий $-$ в этом случае удобно по степеням нумеровать.

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 10:18 
Аватара пользователя
Вот. А степень в ряде Тейлора - это порядок производной, он и является индексом суммирования. И плевать нам на не/натуральность нуля, а также на обращение в нуль некоторых членов ряда.

 
 
 
 Re: Общий вид членов разложения бинома Ньютона
Сообщение22.12.2016, 10:41 
Аватара пользователя
bot в сообщении #1179124 писал(а):
Эта ненаучная гипотеза

Но ведь для просто устроенных и хорошо всем известных рядов можно же нумеровать только отличные от нуля члены? Или это по каким-то причинам плохо?

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group