азы функ.анализа (метрика, множества, пространство)

[UriY]

Brukvalub в сообщении #1001148 писал(а):

Если выпить много яду, то умрешь. Гай Юлий Цезарь умер. Это означает, что он выпил много яду?

Если рассматривать приведенный пример, формально с точки зрения логики, то для стороннего наблюдателя, который впервые столкнулся со смертью и не знает почему это происходит имеем следующее:
1) употребление яда приводит к летальному исходу - аксиома автора
2) автором больше не дано никаких вариантов, которые могут привести к летальному исходу
3) произошел летальный исход, поэтому для стороннего наблюдателя однозначный вывод - в этом виноват яд

Т.к. этот форум не филологический, то прошу использовать в качестве аргументов математические, а не философские, литературные или какие-либо еще аргументы. Утверждения, что кто-то "не умеет думать", "не понимает что из чего вытекает" и т.д. также не могут быть рассмотрены в качестве доказательной базы на этом специализированном форуме, т.к. они не конструктивны и ведут к бессмысленной дискуссии и нападкам оппонентов друг на друга ))

А теперь "вернемся к нашим баранам" ))
1)Есть пространство $l_p$, оно является векторным (доказательство уже приводилось).
Конечномерным это пространство может быть, а может и не быть - все зависит от того, введена ли в нем линейно независимая система векторов - это рассуждение правильно?
Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Следует ли, что если в конечномерном пространстве есть метрика, то значит в нем автоматически введено скалярное произведение его элементов или норма?

Если мои утверждения не верны, то приведите пример конечномерного пространства $l_p$, в котором есть метрика, но не может быть введено скалярное произведение элементов этого пространства или нет нормы.

2)Помогите разобраться со cвязью между скалярным произведением элементов, нормой и метрикой пространства.
По определению на линейном пространстве $L$ функционал (т.е. отображение с областью значений и областью определений) $p$ , удовлетворяющий 4-м аксиомам (неотрицательность, аксиома треугольника, абсолютная однородность и равенство 0 только на нулевом элементе) есть норма.

С другой стороны, метрикой называют отображение $p$, если оно обладает аксиомами метрики. Любое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое, если ввести в нём метрику следующим образом $p(x,y)=\left\lVert x-y \right\rVert$
Т.е. норма - это отображение элементов пространства (одни элементы пространства отображаются в другие элементы этого же пространства) (причем однозначно - или нет?), а метрика - это "расстояние" между элементами этого пространства?
И если пространство ненормированное, то это означает полную хаотичность его элементов (т.е. отсутствие закономерностей и невозможность определения отображения между его элементами)?

Введение в пространство отображения, являющегося скалярным произведением его элементов позволяет понимать и определять расположение элементов этого пространства между собой (т.е. не только расстояние между ними, что определяется метрикой) - правильно?
Поэтому отображение, которое является скалярным произведением не может существовать без введения метрики в этом пространстве - это правильно? А метрика, в свою очередь не может существовать без введения нормы пространства - правильно?

В качестве опровержения моих выводов прошу привести конкретные математические примеры, а не философские рассуждения.

С другой стороны здесь сказано:

Цитата:

Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского).

И здесь дано уточнение:

Цитата:

Индефинитная метрика не является метрикой в смысле определения метрического пространства, а представляет собой частный случай метрического тензора.

т.е. по идее мои рассуждения в 2) остаются верны для всех пространств, кроме частного случая псевдоэвклидовых пространств?

[nnosipov]

UriY в сообщении #1001550 писал(а):

2) автором больше не дано никаких вариантов, которые могут привести к летальному исходу
3) произошел летальный исход, поэтому для стороннего наблюдателя однозначный вывод - в этом виноват яд

Почему однозначный выбор??? Автор не дал других вариантов (ленивый был, например), но на каком основании можно утверждать, что их нет? Возможно, автор о других вариантах просто не подозревает, а они на самом деле есть.

[Brukvalub]

UriY в сообщении #1001550 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1001148 писал(а):

Если выпить много яду, то умрешь. Гай Юлий Цезарь умер. Это означает, что он выпил много яду?

Если рассматривать приведенный пример, формально с точки зрения логики, то для стороннего наблюдателя, который впервые столкнулся со смертью и не знает почему это происходит имеем следующее:
1) употребление яда приводит к летальному исходу - аксиома автора
2) автором больше не дано никаких вариантов, которые могут привести к летальному исходу
3) произошел летальный исход, поэтому для стороннего наблюдателя однозначный вывод - в этом виноват яд...

Что же вы сразу не сказали, что вы - "бессмертный сторонний наблюдатель, который впервые столкнулся со смертью и не знает почему это происходит"???
Я таких боюсь, я бы тут ничего писать не стал!

-- Ср апр 08, 2015 12:55:21 --

UriY в сообщении #1001550 писал(а):

...
Т.е. норма - это отображение элементов пространства (одни элементы пространства отображаются в другие элементы этого же пространства) (причем однозначно - или нет?)...

Эта цитата развеивает последние сомнения в том, что вы - "сторонний наблюдатель"! Только "сторонний наблюдатель" читает правильные определения, а цитирует нечто совсем другое.
Бросайте вы заниматься математикой, демагогия у вас куда лучше получается!

-- Ср апр 08, 2015 13:10:48 --

UriY в сообщении #1001550 писал(а):

...
1)Есть пространство $l_p$, оно является векторным (доказательство уже приводилось).
Конечномерным это пространство может быть, а может и не быть - все зависит от того, введена ли в нем линейно независимая система векторов - это рассуждение правильно?
..

Это не верно!

UriY в сообщении #1001550 писал(а):

...
Следует ли, что если в конечномерном пространстве есть метрика, то значит в нем автоматически введено скалярное произведение его элементов или норма?
...

Это не верно!

UriY в сообщении #1001550 писал(а):

...
Если мои утверждения не верны, то приведите пример конечномерного пространства $l_p$, в котором есть метрика, но не может быть введено скалярное произведение элементов этого пространства или нет нормы.
..

Такого сделать нельзя!

UriY в сообщении #1001550 писал(а):

...
...
И если пространство ненормированное, то это означает полную хаотичность его элементов (т.е. отсутствие закономерностей и невозможность определения отображения между его элементами)?
...

Это не верно и не имеет математического смысла.
Вывод: выключайте википедию, берите в руки учебники и начинайте читать их, а не разводить демагогию на форумах. По википедии вы ничего понять не можете.

[Nemiroff]

UriY в сообщении #1001550 писал(а):

Если рассматривать приведенный пример, формально с точки зрения логики, то

Ну зачем писать такое, если не знаете, ни что такое формально, ни что такое логика. Эх.

UriY в сообщении #1001550 писал(а):

Конечномерным это пространство может быть, а может и не быть - все зависит от того, введена ли в нем линейно независимая система векторов - это рассуждение правильно?

Это не рассуждение, это просто брякнули что-то. Помимо линейной независимости нужно какое-то свойство, обеспечивающее полноту. А размерность не может зависеть от произвольного выбора каких-то там векторов.

UriY в сообщении #1001550 писал(а):

Следует ли, что если в конечномерном пространстве есть метрика, то значит в нем автоматически введено скалярное произведение его элементов или норма?

Метрическое пространство даже векторным быть не обязано, не то что нормированным.

UriY в сообщении #1001550 писал(а):

приведите пример конечномерного пространства $l_p$

UriY в сообщении #1001550 писал(а):

норма - это отображение элементов пространства (одни элементы пространства отображаются в другие элементы этого же пространства)

Brukvalub, тут не в плохой Википедии дело. Википедия пишет

Цитата:

Норма в векторном пространстве $V$ над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал $p\colon V \to \mathbb{R}$, обладающий следующими свойствами: …

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Nemiroff, просто я уже устал удивляться обилию вьюношей, которые "учатся по википедии".
Последнее время самым модным ответом на вопрос "по какому учебнику вас учат?" стал ответ: "у нас вообще учебников нет, все берем из википедии".
Последнее время очень опасаюсь попасть к "викидоктору", который получил медицинский диплом, учась по википедии! Мой младший сын - медик, недавно окончил 2-й мед. Так вот, у них треть выпуска вАще не училась, а треть - изумляла на экзаменах педагогов "премудростями из википедии" , поскольку успевала перед зачетами и экзаменами только в вики и заглянуть. Все получили дипломы с правом врачевания!

[nnosipov]

Brukvalub в сообщении #1001570 писал(а):

(Оффтоп)

Последнее время самым модным ответом на вопрос "по какому учебнику вас учат?" стал ответ: "у нас вообще учебников нет, все берем из википедии".

(Оффтоп)

Меня больше всего раздражает это враньё насчёт отсутствия учебников. А врут они оттого, что им лень лишние телодвижения совершить (типа пойти в библиотеку или даже просто скачать). Мы лучше тупо тыкнем в телефон и почитаем надписи на заборах. Как бороться с этой заразой, непонятно.

[AGu]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1001580 писал(а):

Как бороться с этой заразой, непонятно.

Я бы вешал. Ну или давал мороженое. Не знаю, надо в википедии посмотреть...

[Azamat.I]

Я просто в ах.! Сидят тут умные математики, на книжки ссылаются. Все прекрасно поняли в чем суть вопроса

Цитата:

...
Если мои утверждения не верны, то приведите пример конечномерного пространства $l_p$, в котором есть метрика, но не может быть введено скалярное произведение элементов этого пространства или нет нормы.
..
Такого сделать нельзя!

Вы странно задачи решаете! На экзаменах тоже так отвечали? Как же вы доучились?


Как xxxxx не читать википедию, если на dxdy получить информацию стало невозможным.

Посмотрите все на себя! Столько лицемерия, заслуженные участники С таким отношением к младшим по разуму, вам далеко до элиты.

Azamat.I заблокирован за мат. / GAA

[SomePupil]

ТС, ну зачем клепать таких грубых клонов? Ваш ж старшие по разуму забанят!
Пробежитесь по линейной алгебре первого курса, освежите память. Скалярные произведения и нормы вводятся для векторов (аксиоматически, как абстрактные операции/понятия). Можно держать в уме школьные образы: скалярное произведение $-$ длины векторов на косинус угла между ними, норма $-$ обычная длина вектора.

А метрика вводится на точках, а не на векторах!

А конечномерность, и вообще, размерность $-$ это вещь, связанная с базисами. А базис $-$ это линейно независимая зверюга, великий линейный комбинатор.

И вообще, уделите линалу достаточное кол-во времени $-$ и у Вас все получится! Как говаривал великий Гильберт своим студентам: "Мы должны знать к концу семестра $-$ мы будем знать к концу семестра!"

Дерзайте!

[knizhnik]

SomePupil в сообщении #1178870 писал(а):

А метрика вводится на точках, а не на векторах!

Из такой формулировки можно сделать неверный вывод, будто на векторах нельзя ввести метрику.

[popolznev]

Цитата:

метрика, в свою очередь не может существовать без введения нормы пространства - правильно?

Неправильно. Вот пример множества, на котором метрика есть, а нормы нет: $X=\{\alpha,\omega\}$, $\rho\left(\alpha,\omega\right) = \rho(\omega,\alpha) = 1$, $\rho(\alpha,\alpha) = \rho(\omega,\omega) = 0$.

Цитата:

функционал (т. е. отображение с областью значений и областью определений)

У любого отображения есть область определениЯ и область значений.

[Mikhail_K]

popolznev и другие, заметьте, что вы отвечаете в тему полуторагодовой давности, поднятую не вполне адекватным сообщением пользователя Azamat.I (наверняка чьего-то клона).

[popolznev]

Mikhail_K в сообщении #1178884 писал(а):

popolznev и другие, заметьте, что вы отвечаете в тему полуторагодовой давности, поднятую не вполне адекватным сообщением пользователя Azamat.I (наверняка чьего-то клона).

А, тогда прошу прощения.