Доказать равенство двух пределов

[timas-cs]

Доказать, что если $\lim\limits_{n\to\infty} {a}_{n}=A$, то $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{{a}_{1}+{a}_{2}+...{a}_{n}}{n}=A$. Как я понял, тут нужно использовать определение предела суммы и частного предела. "Разбиваем" функцию на члены, а что делать дальше? Как доказать, что предел суммы этих членов ${}=A$.

Lia: Заключайте формулы в доллары полностью, не разбивая. Исправлено.

[Brukvalub]

timas-cs в сообщении #1177897 писал(а):

нужно использовать определение предела

Верно. Вот и начинайте рассуждать, писать оценки, за вас все равно никто этого делать не будет.

[timas-cs]

Brukvalub
Я это знаю. Я его использовал, разбил сумму на отдельные члены. Но не понимаю, что делать дальше. Есть идея использовать определение сходимости, тк предел последовательности - конечное число, тогда надо как-то доказать, что, начиная с n'нного все элементы будут входить в окрестность точки A.

[Brukvalub]

timas-cs в сообщении #1177912 писал(а):

не понимаю, что делать дальше.

Так мы долго схоластику по форуму гонять будем. Вы, того, не хфилософствуйте, а формулы чертите и приводите свои попытки проверить определение предела.

[timas-cs]

Brukvalub
Больше не буду! Ну а насчет сходимости, я хоть в том направлении мыслю или искать что-то другое?

[Math_er]

timas-cs
По определению предела последовательности, начиная с некоторого номера $N$, все Ваши члены последовательности будут входить в $\varepsilon$-окрестность точки $A$. Вот и разбейте Вашу сумму на две: в первой все элементы до номера $N$, а во второй - все остальные. Дальше посмотрите, что будет происходит с каждым из этих слагаемых в пределе.

[timas-cs]

Math_er
Предел первого слагаемого будет равен нулю, а второго бесконечность и это позволяет нам сделать вывод, что предел суммы \ равен пределу n-нного

[Math_er]

timas-cs
Второго - бесконечность? Неверно. Выпишите здесь явно объекты, о которых идет речь.

[timas-cs]

Math_er
А, понял, предел второго члена будет равен А тк он содержит ${a}_{n}$, предел которого по условию равен А, а все остальное во втором члене не нужно даже рассматривать.(тоже будет равно нулю)

[Brukvalub]

timas-cs, да, именно так и объясните все своему преподу, он будет в восторге!

[timas-cs]

Brukvalub
Спасибо большое, что помогли, но это не для препода. Сам хочу разобраться с тем, что пропустил/упустил.

[ewert]

Не могу молчать, потому и не буду скрывать под катом: пределы равносильными не бывают. Тем более что тут речь вовсе и не о равносильности (но это уже так, семечки, на фоне предыдущего).

А если по существу, то все рекомендации были, конечно, адекватными. Однако и издеваться над русским языком всё же нежелательно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Подсказок было достаточно. Воспользуйтесь ими.

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.