Устные задачи про небо

[Munin]

Я это некоторое время носил в голове, но пора где-то уже записывать на бумажке, потому что коллекция грозит разрастись, а память - нет.

Задачи предназначены для устного решения. Задачи посвящены небу, сферической геометрии, коническим сечениям и поверхностям второго порядка. Справочные данные:

- наклон земной оси $23^\circ$;
- радиус Земли 6,4 тысячи километров, диаметр Земли 12,7 тысяч километров, окружность Земли 40 тысяч километров;
- расстояние от Земли до Солнца 150 миллионов километров;
- в году $\pi$ десятков миллионов секунд.

Желательно помнить наизусть:

- год длится 365 дней;
- месяц длится примерно 29 дней;
- угловой диаметр Солнца и Луны примерно $0{,}5^\circ$ (то есть, Солнце совершает за день по небу в равноденствие 360 "шагов" (градусов), или за сутки - 360 двойных "шагов").

Задачи рассчитаны на жителей Северного полушария.

Банальности для разминки.

1. Сколько времени длится закат Солнца? (В равноденствие, использовать данные вашей местности. Под закатом понимается время между первым касанием горизонта нижней точкой диска Солнца и полным уходом диска под горизонт.)

2. Насколько закат позже в городе, который на 100 километров западнее вашего? А если он на 100 километров севернее? (См. задачу 12 от Маковецкого.)

3. Посмотрим на Солнечную систему "сверху", со стороны Полярной звезды. В какую сторону Земля вращается вокруг своей оси, в какую сторону она обращается вокруг Солнца, в какую сторону Луна обращается вокруг Земли, и в какую сторону Луна обращается вокруг своей оси?

Гномон.

Г1. Воткнём в землю палку. Какую линию в течение дня будет рисовать кончик её тени?

Г2. Какая линия получится, если положение кончика тени отмечать в один и тот же час на протяжении года?

Г3. Как изменятся ответы, если отмечать тень на вертикальной стене? На сфере, в центре которой расположен кончик палки?

Г4. (шутка) Какая линия получится, если положение кончика тени отмечать на протяжении года на закате и на восходе?

---- (это, скорее, по физике)

Ф1. Верно ли, что диск Луны при взгляде с Земли имеет одинаковую яркость в центре и на краю? Верно ли, что его яркость (освещённой части) одинакова при любой фазе Луны? Верно ли, что диск Солнца имеет одинаковую яркость в центре и на краю?

---- (Касательно Луны задача нерешаема устно: https://en.wikipedia.org/wiki/Lambertian_reflectance https://en.wikipedia.org/wiki/Oren%E2%80%93Nayar_reflectance_model )

Законы Кеплера.

ЗК0. (скорее, на эрудицию) Как 1-й закон Кеплера совместим со школьным решением задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту, - по параболе?

ЗК1. (скорее, на эрудицию) Кузнечик сидит на Южном полюсе. Может ли он прыгнуть в Сидней (Австралия)? Может ли он прыгнуть в Москву? Может ли он прыгнуть в Москву, пролетев над Северным полюсом?

ЗК2. Три кузнечика сидят на Южном полюсе. Первый прыгает по горизонтали с Первой космической скоростью, и совершает круговой полёт вокруг Земли. Второй падает в шахту, проделанную через центр Земли, долетает до Северного полюса, и потом так же падает обратно. Третий подскакивает вертикально, поднимаясь на высоту радиуса Земли. В каком порядке они попадут обратно в исходную точку? (Считать Землю однородной. Как изменится ответ, если внести поправку на неоднородность: внешние слои менее плотные, чем глубокие?) Какова начальная скорость третьего кузнечика?

ЗК3. Каково время полёта третьего кузнечика? А если он прыгает на произвольную заданную высоту?

ЗК4. Известны большая и малая полуоси гиперболы, по которым вокруг Солнца движется гиперболическая комета. Найти время, за которое комета спустится из заданной точки до перигелия.

Задачи от Маковецкого.

М-11. Разногласия на меридиане
Витебск и Ленинград — на одном меридиане, Пулковском, поэтому самый темный момент ночи в этих городах наступает одновременно — будем для простоты считать, что ровно в час ночи по московскому времени. А когда он наступит для пассажира, едущего июньской ночью из Витебска в Ленинград? А для пассажира, едущего обратно?
Будем считать, что вся дорога идет строго по Пулковскому меридиану.

М-12. На стадионе стемнело
Москвичи смотрят по телевидению футбольный матч из Бухареста. В Москве еще светит Солнце, и поэтому телеболельщики сильно удивились, когда комментатор пожаловался на то, что на стадионе уже стемнело. В самом деле, ведь Бухарест намного западнее Москвы, и Солнце должно заходить там позже. Вам предлагается разобраться в этом вопросе.

М-14. Полярная Луна
На полюсе Солнце полгода находится над горизонтом, полгода же — под горизонтом. А Луна?

Задача от Арнольда ("тривиум").

А-40. Перенести параллельно направленный в Ленинграде (широта $60^\circ$) на север вектор с запада на восток вдоль замкнутой параллели.

Задачи от Савватеева ("для гуманитариев").

С-1. Вы залезли на вершину Хибинских гор, высота в районе 1 километра, и посмотрели вдаль, а там дома какие-то. Вам померещилось, или это Мурманск? На сколько километров можно увидеть с километровой горы? А на сколько видно с Эвереста? А с 20-этажного дома? Если кто-нибудь говорит: "я тут пролетал из Тбилиси в Дели, и Москву на горизонте видел" - он врёт, или возможно такое? Гагарин летел на высоте 100 километров - докуда он видел? Можно ли с гор около Байкала видеть горы, которые находятся в районе Улан-Удэ?

С-2. Вы астроном, и наблюдаете за звёздами, живя в городе Москва. А потом вы перебрались в Санкт-Петербург. Вы обнаружили какие-то новые звёзды, которые вы раньше из Москвы не видали? Тот же вопрос для девушки, которая жила в Санкт-Петербурге и переехала в Москву. Случилось солнечное затмение. Летним днём в Москве стали видны звёзды. Это какие-то новые звёзды, которые вы никогда не видели, или те, которые вы видели в другие времена?

С-3. Вы идёте на лыжах 22 марта, и начинает темнеть. И вы вспоминаете, что 22 декабря, когда вы шли на лыжах, то от момента захода Солнца за горизонт вы успели добежать до полной темноты до деревни Морозки. И вы идёте в том же самом месте. Успеете ли вы добежать до деревни Морозки? Тот же вопрос про 22 июня.

Задача от miflin ( http://dxdy.ru/post1177910.html#p1177910 ).

miflin-1. На солнечном диске, при закате Солнца, существует точка $A$ (низ диска), которая первая соприкасается с линией горизонта. Пусть в точке $A$ находится солнечное пятно, а другое - в диаметрально противоположной точке диска.
Будет ли второе солнечное пятно последней точкой диска, которая скрывается под горизонтом?

Задачи от Sphinx Pinastri ( http://dxdy.ru/post1178522.html#p1178522 ).

SP-1. Известно, что скорость разбегания галлактик пропорциональна расстоянию до них. Можно ли из этого наблюдения сделать вывод, что мы находимся в центре вселенной?

SP-2. Скоро будет редкое полное полутеневое лунное затмение. Считая угловой размер Луны и Солнца равными, во сколько раз уменьшится средняя яркость луны?

Мои задачи (либо я не знаю авторства).

m1. Луна обгоняет Солнце в своём движении по небу, или отстаёт от него? (А) с точки зрения неподвижного наблюдателя на Земле, (б) с точки зрения неподвижных звёзд.

m2. (Задача с подвохом) Закат. На высоком доме снизу тень от земли, а верхние этажи ещё освещены Солнцем. С какой скоростью движется вверх край тени?

m3. Сравнить величину силы тяготения, действующего на яблоко со стороны Земли и со стороны Солнца.

m4. Насколько в пространстве простирается полная тень Земли? (Теперь наглядно увязываются масштабы Земли-Луны и Земли-Солнца.)

m5. А на каких расстояниях от Земли находятся точки Лагранжа $L_1$ и $L_2$ системы Солнце-Земля?

Предлагаю пополнять коллекцию.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1177782 писал(а):

Сколько времени длится закат Солнца?

Какой закат? https://ru.wikipedia.org/wiki/Сумерки

[miflin]

Red_Herring в сообщении #1177784 писал(а):

Какой закат?

Я это понял как промежуток времени между моментом касания линии горизонта нижней точкой солнечного диска и моментом исчезновения под линией горизонта верхней точки диска.

-- 17.12.2016, 07:36 --

(Оффтоп)

miflin в сообщении #1177789 писал(а):

Я это понял как промежуток времени между моментом касания линии горизонта нижней точкой солнечного диска и моментом исчезновения под линией горизонта верхней точки диска.

Этот мой ответ родил микрозадачку: почему упомянутая нижняя точка диска уже не будет нижней в момент исчезновения верхней точки?

[Pphantom]

Red_Herring в сообщении #1177784 писал(а):

Какой закат? https://ru.wikipedia.org/wiki/Сумерки

В таком контексте под закатом понимается время между первым касанием горизонта нижней точкой диска Солнца и полным уходом диска под горизонт.

[Munin]

(miflin)

miflin в сообщении #1177789 писал(а):

Этот мой ответ родил микрозадачку: почему упомянутая нижняя точка диска уже не будет нижней в момент исчезновения верхней точки? :-)

Это я не понял, почему. Для начала, как точку вообще "закрепить" на диске? Слово "нижняя точка" может пониматься только в смысле того, что наблюдатель измеряет её возвышение над горизонтом, прямо в момент наблюдения. Имхо.

miflin и Pphantom правы, сейчас внесу пояснения в текст.

-- 17.12.2016 16:10:02 --

P. S. Задачи, увы, получаются пока очень разнородные по уровню. В целом, я надеюсь, они по силам школьникам. Но могут быть интересны и доцентам с кандидатами :-)

[miflin]

(Munin)

Если через 3 точки (центр Солнца - ЦС, центр Земли - ЦЗ, наблюдатель на поверхности Земли - Н) провести плоскость,
то она будет пересекать окружность солнечного диска в двух точках, которые будут в данный момент времени находиться
на вертикали и являться верхом и низом наблюдаемого диска. За счет суточного вращения Земли направление ЦЗ-Н
меняется относительно Солнца, и поэтому точки окружности диска, выполняющие роль верха и низа, постоянно друг друга
сменяют. Конечно, за короткое время заката это трудно заметить, не говоря уже о том, что визуально точки диска неразличимы,
особенно, если нет солнечных пятен.
Однако этот эффект легко пронаблюдать на неполной Луне за большее время, за 3-4 часа, скажем.
Можно увидеть изменение ориентации терминатора относительно горизонта.

[Munin]

Хорошая мысль. Из этого тоже можно попытаться задачу сделать.

Например:

Месяц находится на небесном экваторе. Куда направлены его "рожки"?

[Pphantom]

Munin в сообщении #1177879 писал(а):

Месяц находится на небесном экваторе. Куда направлены его "рожки"?

По отношению к экватору - куда угодно, поскольку Солнце на экваторе может и не быть, а фаза месяца не оговорена.

[Munin]

Можно ли огрублённо считать, что плоскость орбиты Луны совпадает с плоскостью орбиты Земли? Тогда (подразумевавшийся) ответ - вдоль линии эклиптики.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1177884 писал(а):

Можно ли огрублённо считать, что плоскость орбиты Луны совпадает с плоскостью орбиты Земли? Тогда (подразумевавшийся) ответ - вдоль линии эклиптики.

Тогда условие, что Луна на экваторе, фактически лишнее, да и ответ "некрасивый" - кто знает, где там эта линия эклиптики...

Если же наклоном орбиты Луны не пренебрегать, то все еще хуже: принципиально возможна, например, ситуация, когда Солнце на эклиптике и под горизонтом, а Луна находится на несколько градусов выше и над горизонтом и при этом на экваторе (этакая идеальная неомения). Конечно, серп Луны при этом еще увидеть надо, но его рога будут направлены перпендикулярно направлению эклиптики.

[Munin]

Pphantom в сообщении #1177892 писал(а):

да и ответ "некрасивый" - кто знает, где там эта линия эклиптики...

Сформулируем иначе: через Луну и Солнце надо провести по небу дугу большого круга. Заодно, это остаётся верным и без упрощений.

Вообще, я подразумевал решение задач с некоторыми упрощениями, но не стал все перечислять. Во-первых, муторно, во-вторых, иногда натолкнёт на ответ.

Ладно, я предложил. Предложите другое.

[miflin]

Мой вариант.

На солнечном диске, при закате Солнца, существуют две точки.
Точка А (низ диска), которая первая соприкасается с линией горизонта.
Точка В (верх диска), которая последней скрывается под линией горизонта.
Является ли отрезок АВ диаметром диска?

[Munin]

Я против. Точку $A$ можно отметить только в момент начала заката, а точку $B$ - только в момент конца заката. Отрезка $AB$ провести нельзя.

[miflin]

Munin в сообщении #1177907 писал(а):

Точку $A$ можно отметить только в момент начала заката, а точку $B$ - только в момент конца заката. Отрезка $AB$ провести нельзя.

Вы с позиций СТО, что ли?
Вроде бы элементарно всё...
Пусть в точке $A$ находится солнечное пятно, а другое - в диаметрально противоположной точке диска.
Будет ли второе солнечное пятно последней точкой диска, которая скрывается под горизонтом?
Очевидно нет. Отрезок $AB$ можно провести, и это будет хорда.

[Munin]

А, если разрешить на Солнце пятна, тогда да.