Связности в расслоениях

[Metford]

Прошу помощи у знающих людей. Никак не уложится у меня в голове введение связности в расслоении. Есть у меня большое подозрение, что чего-то я не понимаю в определении ассоциированного расслоения - но, может быть, по ходу дела прояснится.

Прочитал я определения горизонтальной и вертикальной составляющей вектора, формы связности, ковариантного дифференциала и т.п.

(Оффтоп)

Читал изначально по книге Волобуева и Кубышина в надежде, что физики расскажут всё понятно. А там вся математическая часть фактически списана с Кобаяси и Номидзу, а отличие заключается в том, что выброшены многие математические детали и доказательства. В общем, легче от этого не стало. Никому эту книгу не порекомендую...

Потом посмотрел, как вводится линейная связность, потому что хотелось конкретный пример, желательно из чего-то знакомого. Аксиоматически вводится операция $\nabla_XY$ с некоторыми "естественными свойствами". Говорится, что, применяя эту операцию к базисным векторам, можем результат разложить по самому базису - получатся фактически символы Кристоффеля (коэффициенты связности во всяком случае). Дальше уже всё понятно - выводы кручения, кривизны связности. Это технически просто. Вместо коэффициентов связности вводятся 1-формы $\omega^i_j=\Gamma^i_{jk}dx^k$ - дальше всё формулируется через них.
Начинаю читать, как это встраивается в общую схему. И тут откуда ни возьмись берётся множество всех реперов $L(M)$. Но это ещё ладно. Чего я совершенно не могу понять, что будет элементами касательных пространств $TL(M)$? Потом, где в линейных связностях разделение векторов на горизонтальную и вертикальную составляющие?

Понимаю, что вопросы, скорее всего, тривиальные - но никак не могу ухватить идею И в книгах, которые мне попадались, написано примерно одно и то же (это Стернберг, Лихнерович, КН). Может быть, где-то проще написано?

[lek]

Посмотрите здесь (Trautman, 1970, DOI: 10.1016/0034-4877(70)90003-0; уровень Кобаяси-Номидзу) и здесь (Даниэль-Виалле, 1982; менее строгое изложение).

[Metford]

lek, спасибо! Будем читать.

[Munin]

Metford в сообщении #1177347 писал(а):

Чего я совершенно не могу понять, что будет элементами касательных пространств $TL(M)$?

Векторы в точках, или векторное поле.

Metford в сообщении #1177347 писал(а):

Потом, где в линейных связностях разделение векторов на горизонтальную и вертикальную составляющие?

Там они как раз совпадают, кажется.

Попробуйте рассмотреть другой пример. Калибровочное поле какое-нибудь.

[Metford]

Munin в сообщении #1177389 писал(а):

Векторы в точках, или векторное поле.

Понятно, что можно рассматривать касательное пространство как линейное пространство и называть его элементы векторами. Но это уж как-то абстрактно слишком. Вот есть у меня многообразие. Я в некоторой точке выбираю соответствующее размерности многообразия число линейно независимых векторов - получаю репер. Сделать это можно, мягко говоря, многими способами - получается расслоение. Каноническая проекция сопоставляет реперам в данной точке многообразия саму эту точку. Так вот нельзя ли придать вполне конкретный смысл элементам касательного пространства к пространству всех реперов на многообразии? Что это будут за "векторы"? Абстрактно - что угодно можно принять, но поконкретнее хотелось.

Munin в сообщении #1177389 писал(а):

Попробуйте рассмотреть другой пример. Калибровочное поле какое-нибудь.

Нет. Я бы предпочёл сначала разобрать математическую конструкцию, а потом - с ней в физические приложения идти. Линейные связности - хороший пример, для него на более простом уровне всё легко формулируется - знаешь, к чему идёшь. Я предполагал на этом частном примере понять общую идею.

[g______d]

Munin в сообщении #1177389 писал(а):

Там они как раз совпадают, кажется.

Нет.

-- Чт, 15 дек 2016 14:41:10 --

Metford в сообщении #1177347 писал(а):

Потом, где в линейных связностях разделение векторов на горизонтальную и вертикальную составляющие?

Есть векторное расслоение на многообразии. Рассмотрим касательное пространство ко всему расслоению (точнее, к тотальному пространству расслоения). Далее, в этом огромном касательном пространстве некоторые векторы направлены вдоль слоёв, они называются вертикальными.

С горизонтальными сложнее, потому что без дополнительной структуры нет канонического способа сказать, какие именно вектора будет "перпендикулярны" вертикальным; в некотором смысле связность и является такой структурой.

Если хотите чего-то более конкретного, то начните разбирать конкретный текст, а дальше кто-то, возможно, захочет подсказать по конкретным вопросам.

[Munin]

Metford в сообщении #1177397 писал(а):

Понятно, что можно рассматривать касательное пространство как линейное пространство и называть его элементы векторами. Но это уж как-то абстрактно слишком.

Имхо, если вы не освоите эту абстракцию, вы не оторвётесь от частных примеров расслоения. В частности, не увидите интересующего вас вопроса о вертикальных и горизонтальных векторах.

Для начала, представьте себе расслоение, слои которого - не линейные пространства.

Metford в сообщении #1177397 писал(а):

Вот есть у меня многообразие. Я в некоторой точке выбираю соответствующее размерности многообразия число линейно независимых векторов - получаю репер. Сделать это можно, мягко говоря, многими способами - получается расслоение.

Так, стоп-стоп-стоп. Касательное пространство - это не пространство всех реперов в точке. Это пространство всех касательных векторов в точке. Пространство реперов богаче.

Расслоение получается, когда вы приделываете по касательному пространству к каждой точке многообразия. А к реперам оно имеет косвенное отношение - это уже потом, когда вы хотите ввести координаты на расслоении, вы можете выбрать в каждой точке по реперу, и в слоях они дадут базисы.

g______d
Ваша лаконичность обесценивает ваш вклад. Вы могли бы чему-нибудь научить меня, но предпочитаете только одёргивать.

[Metford]

Munin в сообщении #1177526 писал(а):

Касательное пространство - это не пространство всех реперов в точке.

Это мне известно. Я несколько сократил свою мысль вчера: поздно уже было. Смысл был такой. Каждому реперу на многообразии можно поставить в соответствие точку, в которой этот репер построен - это каноническая проекция.

Munin в сообщении #1177526 писал(а):

если вы не освоите эту абстракцию, вы не оторвётесь от частных примеров расслоения. В частности, не увидите интересующего вас вопроса о вертикальных и горизонтальных векторах.

Меня интересовал вопрос о том, как понимать касательное пространство для пространства всех реперов. Всё-таки исхожу из того, что геометрические объекты допускают наглядность хотя бы в какой-то степени. Интуиция должна формироваться в конце концов... Кажется, я сегодня несколько продвинулся. Фактически рассмотрение касательных векторов в данном случае соответствует описанию того, как изменяются векторы репера при переходе от одной точки многообразия к другой (а тут уже и переход от одного касательного пространства к другому возникает). С такой позиции сразу понятнее становится, почему именно с этой стороны подбираются к коэффициентам связности. Думается, что это "открытие" позволит и до абстракций дойти - и довольно скоро. Так что не всё безнадёжно со мной

g______d в сообщении #1177398 писал(а):

Если хотите чего-то более конкретного, то начните разбирать конкретный текст, а дальше кто-то, возможно, захочет подсказать по конкретным вопросам.

В общем, я примерно так и собирался сделать. Но начать хотелось с расширения списка литературы. Вот мне lek посоветовал две статьи. Сначала их прочитаю на выходных. А там посмотрим. Я вчера когда сформулировал первое сообщение темы, похоже, чуть-чуть порядок в голове навёл: проясняться начала ситуация.

[Munin]

Metford в сообщении #1177693 писал(а):

Я несколько сократил свою мысль вчера

Тогда пардон. Я, наоборот, был не сильно сообразителен.

Но всё-таки "пространство всех реперов" - это ужас что такое.

[Metford]

Продолжая разбираться со связностями, дошёл до формулы

$$\nabla_X\varphi=p(Df(\bar{X})),$$

где $\varphi$ - сечение расслоения $E(P,M,F,G)$ ($M$ - база, $F$ - слой, $G$ - структурная группа, $P(M,G)$ - главное расслоение, с которым ассоциировано $E$), $X\in T_xM$, $\bar{X}\in T_pP$, $X=\pi'(\bar{X})$, $p\in\pi^{-1}(x)$, $f(p)=p^{-1}\varphi(\pi(p))$. Мне совсем не нравится значительная часть этих обозначений, но пусть будут, как есть.
Что-то я запутался, кто кого куда отображает. Если отображение $f$ действует из пространства $P$ в слой $F$, то каким образом в аргументе стоит вектор $\bar{X}$? Если же $Df$ понимается как дифференциал отображения $f$, действующий на горизонтальной составляющей вектора $\bar{X}$, то в результате должен получаться вектор из касательного пространства к слою $F$. Но отображение $p(...)$ определено на элементах пространства $F$, а не на касательных векторах к нему. Как всё-таки следует понимать всю эту формулу? (Это уже не считая вопроса, как до такой жизни дошли - но это скорее риторическое)

И второй вопрос: вот этот ковариантный дифференциал $Df$ - он вычисляется с помощью формы связности? Если да, то хотелось бы явную формулу увидеть: что-то я её не нахожу.

[Slav-27]

Metford
Вы бы написали, откуда это всё берёте, а то действительно без поллитры, как говорится...

[Metford]

Из Волобуева и Кубышина "Дифференциальная геометрия и алгебры Ли и их приложения в теории поля".
Книга написана тяжело и местами неаккуратно, уже 20 раз пожалел, что с ней связался. Но уже попривык к их обозначениям, в другие вникать уже не очень хочется. Если только очень потребуется. Нечто подобное видел у Стернберга.

[DeBill]

Metford
А что есть у Вас форма связности? Откуда и куда действует?
Так ли это: это - 1-форма, определенная на касательном пространстве к базе, и СО ЗНАЧЕНИЯМИ В СЛОЕ (или - в касательном пространстве к слою? или - в группе эндоморфизмов слоя? В разных учебниках ее определяют по разному. А как - у Вас) ?
Тогда и ее "огоризонтавливание" принимает значения в слое - и правая часть вашего равенства корректно определена...

[Metford]

DeBill, в той формуле, которую я привёл формы связности в явном виде вообще нет, в том-то и вопрос. Форма связности определяется так. Она действует на вектор $X$ касательного пространства $T_pP$, выдавая такой элемент алгебры Ли $\mathfrak{g}$ структурной группы $G$, что соответствующее ему фундаментальное векторное поле есть вертикальная составляющая исходного вектора $X$. Вот...

[Slav-27]

Metford в сообщении #1181789 писал(а):

Если же $Df$ понимается как дифференциал отображения $f$, действующий на горизонтальной составляющей вектора $\bar{X}$, то в результате должен получаться вектор из касательного пространства к слою $F$. Но отображение $p(...)$ определено на элементах пространства $F$, а не на касательных векторах к нему.

А что представляет собою слой? Случайно не конечномерное векторное пространство? Тогда оно и касат. пр-во к нему -- канонически изоморфны.