в той формуле, которую я привёл формы связности в явном виде вообще нет, в том-то и вопрос. Форма связности определяется так. Она действует на вектор
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
касательного пространства
![$T_pP$ $T_pP$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/0/b70b062986cb3b0321328ac539959c3882.png)
, выдавая такой элемент алгебры Ли
![$\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/f/aef4437d0970d3336f77654fe63bcdda82.png)
структурной группы
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
, что соответствующее ему фундаментальное векторное поле есть вертикальная составляющая исходного вектора
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
. Вот...
Ну да, она спрятана в
![$D$ $D$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/e/78ec2b7008296ce0561cf83393cb746d82.png)
.
И, видимо, связность у вас - "геометрическая" (в каждой точке задано "горизонтальная" плоскость) - коль вы умеете вычленять вертикальную составляющую.
Однако, Вы пока определили форму связности (
![$\omega_P$ $\omega_P$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/a/b9a97a3fd8139ebcc0576c466d8a9f5282.png)
) на главном расслоении; по ней строится форма связности
![$\omega_E$ $\omega_E$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/e/a2eb63b6f039c7665181a1607cbfea3582.png)
на ассоциированном. Они определены на соответствующих касательных пространствах, и принимают значения, соответственно, в алгебре, и в касат. пр-ве к слою.
Ну, и, как уже писали, видимо, коль слой у нас - векторное пр-во, то действие группы определяют через ее представление. А часто, и просто считают группу - матричной. А фунд. вект. поля - линейными, задаваемыми матрицами. И отождествляют слой - векторное пространство - с касательным пространством к нему (благо линейное отображение - умножение на матрицу - и касательное к нему - задаются одной и той же формулой). (Мне это не нравится - потому как весь огород затеян ради того, чтобы дать бескоординатные определения - а тут народ не удержался, и таки реально использовал тривиализацию расслоения)
И последнее: Ваша
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
действует не в слой, а в пространство расслоения; соответственно, и ко-дифференциал ейный даст (с учетом отождествления ) -сечение?