Связности в расслоениях

[Metford]

Векторное пространство - да, но по поводу конечномерности - насколько я понимаю, оговорок не делалось. И потом, что Вы назвали каноническим изоморфизмом, уточните, пожалуйста. В каждой точке линейного пространства ведь не один касательный вектор существует - как там взаимно однозначное соответствие установить? (Чувствую, простую вещь спрашиваю - видимо, забылось )

[Slav-27]

А хоть бы и не конечномерное.

Ну вот если есть у вас многообразие $M$ и на нём скалярное поле (0-форма) $f:M\to \mathbb R$. Тогда ваще-то 1-форма $df:TM\to T\mathbb R$. Но кого это волнует?

(Я, может быть, ерунду говорю, но книжка у вас нехорошая и внимательно её читать не хочется.)

[Metford]

Slav-27 в сообщении #1181951 писал(а):

Ну вот если есть у вас многообразие $M$ и на нём скалярное поле (0-форма) $f:M\to \mathbb R$. Тогда ваще-то 1-форма $df:TM\to T\mathbb R$. Но кого это волнует?

В общем, да.

Знаете, Вы правы, разберусь лучше в том, что Стернберг пишет. Достаточно эта книга у меня крови испортила.

[DeBill]

Metford в сообщении #1181936 писал(а):

в той формуле, которую я привёл формы связности в явном виде вообще нет, в том-то и вопрос. Форма связности определяется так. Она действует на вектор $X$ касательного пространства $T_pP$, выдавая такой элемент алгебры Ли $\mathfrak{g}$ структурной группы $G$, что соответствующее ему фундаментальное векторное поле есть вертикальная составляющая исходного вектора $X$. Вот...

Ну да, она спрятана в $D$.
И, видимо, связность у вас - "геометрическая" (в каждой точке задано "горизонтальная" плоскость) - коль вы умеете вычленять вертикальную составляющую.
Однако, Вы пока определили форму связности ($\omega_P$) на главном расслоении; по ней строится форма связности $\omega_E$ на ассоциированном. Они определены на соответствующих касательных пространствах, и принимают значения, соответственно, в алгебре, и в касат. пр-ве к слою.
Ну, и, как уже писали, видимо, коль слой у нас - векторное пр-во, то действие группы определяют через ее представление. А часто, и просто считают группу - матричной. А фунд. вект. поля - линейными, задаваемыми матрицами. И отождествляют слой - векторное пространство - с касательным пространством к нему (благо линейное отображение - умножение на матрицу - и касательное к нему - задаются одной и той же формулой). (Мне это не нравится - потому как весь огород затеян ради того, чтобы дать бескоординатные определения - а тут народ не удержался, и таки реально использовал тривиализацию расслоения)
И последнее: Ваша $f$ действует не в слой, а в пространство расслоения; соответственно, и ко-дифференциал ейный даст (с учетом отождествления ) -сечение?

[Metford]

DeBill в сообщении #1181967 писал(а):

по ней строится форма связности $\omega_E$ на ассоциированном

А вот этого я что-то не видел. Или явно эту вещь так не называют.

DeBill в сообщении #1181967 писал(а):

Ваша $f$ действует не в слой, а в пространство расслоения

Почему?

$$f(p)=p^{-1}\varphi(\pi(p))$$

Каноническая проекция действует $\pi:P\to M$, сечение $\varphi:M\to E$, отображение $p(\xi)=[(p,\xi)], \xi\in F$ действует $F\to E$, соответственно, обратное $p^{-1}:E\to F$. В конечном итоге $f:P\to F$.

[DeBill]

Metford в сообщении #1181985 писал(а):

обратное $p^{-1}:E\to F$. В конечном итоге $f:P\to F$.

Вах, еще и ассоциированоое определяется через факторы... Так что неправильно я все трактовал...
Да еще и точки из главного расслоения, и соответствующие им отображения, обозначаются одной и той же буковкой....
Нда, видимо, запись будет корректной, если еще:
предполагать, что слой - который есть векторное пространство - отождествляется со своим касательным ,
касательное к отображению $p$ обозначено той же буквой
под $p^{-1}$ понимать обратное к сужению отображения $p$ на слой $E_x, x= \pi (p)$
И: правильно я понимаю, что $Df$ есть композиция линейного отображения $df$ и проектирования на "горизонтальное" направление ?
Для проверки, неплохо бы посмотреть на случай, когда асс. расслоение на самом деле совпадает с главным: получится ли ковариантное дифф-е в главном?

(Оффтоп)

УЖОСС

[Metford]

DeBill в сообщении #1182148 писал(а):

И: правильно я понимаю, что $Df$ есть композиция линейного отображения $df$ и проектирования на "горизонтальное" направление ?

Правильно.

DeBill в сообщении #1182148 писал(а):

Да еще и точки из главного расслоения, и соответствующие им отображения, обозначаются одной и той же буковкой...

И это правда. Очень неудобно, но это "унаследовано" из книги Кобаяси и Номидзу.

(Оффтоп)

Да, ужас. Авторы сделали всё, что от них зависело, чтобы затруднить читателю понимание и без того непростой темы.

[Metford]

Ну, в общем, более или менее с этой формулой у меня сложилось. Помогла книга Стернберга. В ней доказательство проводится фактически в обратную сторону - хотя бы понятно стало, как к этому пришли.

(Оффтоп)

Когда-то, прочитав книгу Рашевского по дифференциальной геометрии, я подумал, что получил представление о дифференциальной геометрии... Оказалось, что всего лишь где-то по состоянию на начало XX века...

Теперь бросило меня в несколько другую сторону. Стал я всматриваться внимательно в статью Даниэля и Виалле, которую мне посоветовал lek. В одном месте там то ли что-то не так, то ли я чего-то не понимаю. Меня интересует место, где устанавливается соотношение между возвратами формы связности $\omega_{\alpha}$, $\omega_{\beta}$ в области пересечения карт на базе. При построении локальных сечений главного расслоения $\sigma_{\alpha}:M\to P$ используется отображение $\varphi_{\alpha}:\pi^{-1}(U_{\alpha})\to G$, $U_{\alpha}\subset M$. Сечение строится так: $\sigma_{\alpha}(x)=p\cdot\varphi^{-1}_{\alpha}(p)$, $p\in\pi^{-1}(x)$ (стр. 382 по тексту в УФН). Тут не должно быть случайно просто отображение $\varphi_{\alpha}$? Иначе как-то странно получается. Специально посмотрел в статье-оригинале - там так же.

[DeBill]

Metford в сообщении #1182480 писал(а):

Тут не должно быть случайно просто отображение $\varphi_{\alpha}$? И

(Оффтоп)

Ой, блин, эти физики - они такие физики...

С третьего раза я врубился: все верно. Только надо правильно понимать: $\varphi_{\alpha}^{-1}$ - это не обратное отображение к $\varphi_{\alpha}$, не прообраз точки $p$, это - элемент группы, обратный к элементу $\varphi_{\alpha} (p)$ (скобочки не там стоят!); его действие на элемент $p$ корректно определено....

[Metford]

DeBill в сообщении #1182494 писал(а):

это - элемент группы, обратный к элементу $\varphi_{\alpha} (p)$ (скобочки не там стоят!); его действие на элемент $p$ корректно определено....

Если так, то понятно. Я как-то привык запись $\varphi^{-1}$ как обратное отображение воспринимать... Спасибо!

(Оффтоп)

Хорошо, что находятся терпеливые математики, которые объясняют физикам непонятные моменты. Я скоро уже из этой темы выберусь и перестану терроризировать окружающих глупыми вопросами. Терпеть недолго ещё

[DeBill]

(Оффтоп)

:D Ой, я имел в виду - авторов статьи...