Обтекание вращающегося шара вязкой жидкостью

[Dellghin]

Спасибо.
А как теперь понять, куда нужно добавить $\omega t$?

[mihiv]

Допустим вектор $\vec r$ направлен по оси $OY$, если $r$ велико, влиянием шара можно пренебречь, и мы будем наблюдать вращение вектора $\vec u$ с угловой скоростью $\omega $ в плоскости перпендикулярной $\vec r$. Поэтому $v_r=0, v_{\theta }=U\cos \omega t$. Если же направить вектор $\vec r$ вдоль оси $OX$, то наоборот $v_{\theta }=0, v_r=U\cos \omega t$. В промежуточных случаях отличны от 0 обе проекции.

Кстати угол $\theta $ в этой задаче нужно отсчитывать от оси $Y$( потому что при отсчете от оси $X$ точки шара с одинаковым $\theta $ неэквивалентны). Амплитуда колебаний проекций $\vec v$ зависит от $\theta $.

[Dellghin]

К чему относится $\vec{u}$? Или $\vec{u}$ и $\vec{v}$ одно и то же?
Кстати, если шар не вращается, то будет плоская задача, а с вращением уже пространственная. Но решения что ли все равно отличаться не будут, кроме граничных условий?

[DimaM]

Dellghin в сообщении #1175641 писал(а):

Кстати, если шар не вращается, то будет плоская задача

Не плоская, а цилиндрически-симметричная.

Dellghin в сообщении #1175641 писал(а):

Но решения что ли все равно отличаться не будут, кроме граничных условий?

Взаимоисключающие параграфы.

[mihiv]

Dellghin в сообщении #1175641 писал(а):

К чему относится $\vec{u}$? Или $\vec{u}$ и $\vec{v}$ одно и то же?

Задачу можно решать в разных системах координат: в лабораторной системе, если шара нет, то мы видим просто поток жидкости, движущийся со скоростью $\vec u=(U, 0, 0)$ вдоль оси $X$( обозначения как на рисунке ). Вносим в поток шар, скорость жидкости будет какой-то функцией координат $\vec v(r, \theta ,\varphi )$ Поскольку на больших расстояниях возмущениями, вызванными внесением в поток шара, можно пренебречь, то $\lim \limits _{r\to \infty }\vec v(r, \theta ,\varphi )=\vec u $ или в проекциях:$v_r=U\cos \theta , v_{\theta }=U\sin \theta $ (условия на бесконечности ). Эти условия не зависят от того вращается шар или нет. Граничное условие на поверхности шара (R- радиус шара ) очевидно:$\vec v(R, \theta , \varphi )=\vec \omega \times \vec R$.

А можно все рассматривать в системе связанной с шаром (это неинерциальная система, оси вращаются вместе с шаром ). В этой системе скорость жидкости , естественно, другая. В частности ГУ на поверхности шара теперь будут выглядеть проще: $\vec v(R, \theta , \varphi )=0$, но зато на бесконечности ГУ будут периодически зависеть от времени: $\lim \limits _{r\to \infty }\vec v(r, \theta ,\varphi )=-\vec \omega \times \vec r +\vec u'(t), \vec u'=(U\cos (\omega t-\varphi ), U\sin (\omega t-\varphi ), 0)$. Это к вопросу о том, откуда в граничных условиях зависимость от времени.

[Dellghin]

Спасибо!