Пример банахова пространства с неэквивалентными нормами

[sartr14]

Существует ли бесконечномерное пространство Х и две нормы, такие что $(X,\|\cdot\|_1)$ и $(X,\|\cdot\|_2)$ полны, но нормы неэквивалентны?

[Dan B-Yallay]

Попробуйте в качестве $X$ взять пересечение двух банаховых пространств с заведомо разными нормами.

[Red_Herring]

Как это относится к теореме о замкнутом графике, например?

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #1174325 писал(а):

Попробуйте в качестве $X$ взять пересечение двух банаховых пространств с заведомо разными нормами.

Упражнение: доказать, что если пересечение вдруг оказалось полно по обеим нормам, то на нём они эквивалентны.

-- Пн, 05 дек 2016 08:50:48 --

А исходный вопрос достаточно прост, но нужны попытки решения.

[Dan B-Yallay]

Упражнение не выходит. Видимо, пора освежать остатки заржавевших знаний.

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #1174341 писал(а):

Упражнение не выходит.

Оно неправильное. Прошу прощения. Довольно глупо, учитывая, что исходный вопрос является его частным случаем.

А на исходный вопрос не хочу сильно подсказывать ТС, но не знаю, можно ли обойтись без леммы Цорна.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1174355 писал(а):

можно ли обойтись без леммы Цорна.

А причем здесь она? Скорее речь идет о теореме Бэра, или каком-либо следствии из неё, например о теореме о замкнутом графике.

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1174365 писал(а):

А причем здесь она?

А Вы уверены, что у нас ответ одинаковый? :)

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1174365 писал(а):

например о теореме о замкнутом графике.

Теорема о замкнутом графике -- это о замкнутом операторе вложения. А конструктивного примера (без аксиомы выбора) мне тоже не попадалось. Впрочем, неконструктивного тоже не помню.

А, да, ответ. Да, существует. Это известный факт.

[g______d]

Ладно, действительно, это не ПРР.

По-моему, вообще верен более общий факт: если $A$ и $B$ -- банаховы пространства одинаковой алгебраической размерности (т. е. с равномощными базисами Гамеля; например, два бесконечномерных сепарабельных пространства), то на $A$ можно ввести норму, относительно которой оно будет изометрично $B$. Доказательство: построим биекцию между базисами Гамеля, продолжим её до линейного (алгебраического) изоморфизма и перенесём с помощью него норму из $B$ на $A$.