Ладно, действительно, это не ПРР.
По-моему, вообще верен более общий факт: если

и

-- банаховы пространства одинаковой алгебраической размерности (т. е. с равномощными базисами Гамеля; например, два бесконечномерных сепарабельных пространства), то на

можно ввести норму, относительно которой оно будет изометрично

. Доказательство: построим биекцию между базисами Гамеля, продолжим её до линейного (алгебраического) изоморфизма и перенесём с помощью него норму из

на

.