Почему поле бесконечной плоскости однородное?

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1173657 писал(а):

А никто и не говорил о трансляциях ПОПЕРЕК пластинки.

Именно поэтому ваше объяснение недостаточно.

Alex-Yu в сообщении #1173657 писал(а):

Не, не проще. Там воображение нужно напрягать. Впрочем, на вкус и цвет...

Телесные углы - это воображение школьного уровня. А уравнение Лапласа - 3-й (минимум 2-й) курс вуза.

-- 05.12.2016 18:31:09 --

tohaf в сообщении #1174309 писал(а):

Тогда такой вопрос:
Заряженный лист фольги имеет те же размеры, что и лист бумаги. Можно ли определить напряженность электрического поля, созданного листом, на расстоянии 0,5 см от него, используя формулу $E$ = $\kappa$ $\frac{2\pi\sigma}{\varepsilon}$ ?
Получается, что нельзя?

Если ширина листика фольги $\ll 0{,}5\text{ см},$ то нельзя - работает скорее формула для точечного заряда.

А если ширина листика фольги $\gg 0{,}5\text{ см},$ то можно. Только если вы находитесь вдали от краёв листика. У краёв начинаются краевые эффекты.

А в целом, там будет более сложное поле, которое только в этих пределах описывается этими простыми формулами, и то приближённо.

rustot в сообщении #1174311 писал(а):

Во-вторых, если лист именно проводящий, то заряд расположится по нему не равномерно, а стечется преимущественно к кромке

Не совсем. Этот эффект тоже будет чувствоваться только около кромки. А в центре листа - он будет незаметен.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1174330 писал(а):

Именно поэтому ваше объяснение недостаточно.

Тому, кому недостаточно, можно предложить нарисовать силовые линии, такие, что:

1. Они везде параллельны оси z (следует из симметрии относительно поворотов).
2. Они нигде не обрываются (свойство, известное школьникам).
3. при z=0 их густота не меняется при изменении x и y (следует из тренсляционной симметрии ВДОЛЬ плоскости).

Если кому-то удасться это сделать так, что густота линий при выполнении всех трех условий не будет одинакова ВЕЗДЕ (а не только вблизи пластинки), то я соглашусь с тем, что объяснение недостаточно.

Вы что-то путаете, коллега.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1174340 писал(а):

2. Они нигде не обрываются (свойство, известное школьникам).

Это и есть теорема Гаусса или уравнение Лапласа. И я не понимаю, почему вы этого сами не видите.

[rustot]

Munin в сообщении #1174330 писал(а):

Не совсем. Этот эффект тоже будет чувствоваться только около кромки. А в центре листа - он будет незаметен.

Он приведет к тому что для вычисления поля у поверхности в центре нужно будет как то измерить/вычислить реальную плотность заряда в центре, а не просто усреднять, деля суммарный заряд на площадь.

Речь о именно одиночном листе. У пластин конденсатора эффект гораздо ничтожнее, там можно плотность заряда считать вполне однородной.

[wide]

tohaf в сообщении #1174309 писал(а):

... Получается, что нельзя? Или можно, но только зная заряд-площадь/поверхностную плотность заряда и допустив, что лист у нас бесконечно тонкий, ведь иначе площадь поверхности листа должна быть равна удвоенно площади одной из сторон листа? Да и вообще, не сказано где именно находится точка изучаемая.

Смотрите, теорема Гаусса говорит, что поток эл. поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду в ней.

Первый вариант - вы рассматриваете лист фольги издалека, при этом принимаете его бесконечно тонким. Для определенности примем, что на таком листе равномерно размазано 2 Кл. зарядов.

Второй вариант - вы смотрите достаточно близко, так что видите две поверхности листа фольги. При этом видите, что одноименные заряды, отталкиваясь друг от друга, равномерно размазались по двум поверхностям листа фольги. Но при этом не забываете, что общее количество заряда осталось прежним, т.е. на каждой поверхности листа уже размазано по 1 Кл. заряда.

Теперь можете применить теорему Гаусса хоть для первого, хоть для второго случая, все равно внутри гауссовой поверхности будет размазано одинаковое количество заряда.

При применении теоремы Гаусса нет изучаемой точки пространства, т.к. рассматривают поверхности.

[Munin]

rustot в сообщении #1174350 писал(а):

Он приведет к тому что для вычисления поля у поверхности в центре нужно будет как то измерить/вычислить реальную плотность заряда в центре

А посчитайте. Вообще-то вклад кромки в заряд исчезающе мал.

[Dan B-Yallay]

У меня дилетантский вопрос: какова плотность распределения заряда на плоскости? А общий заряд по плоскости? Почему-то эта задача напоминает мне о вопросе равномерного распределения вероятности на бесконечной прямой.

(Оффтоп)

Так как я не физик, поправьте пожалуйста, моё хвилосовско-математическое видение проблемы: чтобы однородно зарядить бесконечную плоскость необходим бесконечно большой заряд. А у такого заряда (и тут уже неважно размазан он по плоскости или сконцентрирован) вроде как модуль напряженность поля одинаков на любом расстоянии и равен бесконечности. Направление этой напряженности, конечно, зависит от расположения пробного тела. Теперь остаётся понять, что будет с направлениями в случае плоскости.

[Red_Herring]

Dan B-Yallay в сообщении #1174363 писал(а):

Так как я не физик, поправьте пожалуйста, моё хвилосовско-математическое видение проблемы: чтобы однородно зарядить бесконечную плоскость необходим бесконечно большой заряд. А у такого заряда (и тут уже неважно размазан он по плоскости или сконцентрирован) вроде как модуль напряженность поля одинаков на любом расстоянии и равен бесконечности.

Первое утверждение справедливо. Второе--нет. Интеграл, определяющий нормальную компоненту напряженности поля, сходится; а интеграл, определяющий касательную, сходится в смысле главного значения к 0. Разумеется, кулоновский потенциал будет бесконечным.

Тут не думать, а прыгать считать надо!

[Dan B-Yallay]

Red_Herring
Спасибо за политпросвет!! )

[Munin]

Dan B-Yallay в сообщении #1174363 писал(а):

У меня дилетантский вопрос: какова плотность распределения заряда на плоскости?

Это задача по матфизике (и физике).

Если в данной точке плоскости $(x,y)$ плотность заряда $\sigma(x,y),$ то непосредственно над ней электрическое поле имеет нормальную компоненту $E_\perp=\sigma/\varepsilon_0$ (под ней - нуль, поскольку считаем, что там массив проводника). Какова же касательная (тангенциальная) компонента? Она рассчитывается из того, что заряды в проводнике свободны и приходят в движение под действием внешнего поля, пока оно не исчезнет. То есть, заряды будут двигаться вдоль поверхности, пока тангенциальное поле не станет нуль: $\mathbf{E}_\parallel=0,\quad\mathbf{E}=(\sigma/\varepsilon_0)\mathbf{k}.$

Для такого поля можно посчитать ротор в непосредственной близости к поверхности, и он будет равен

$\operatorname{rot}\mathbf{E}=\operatorname{rot}(\sigma/\varepsilon_0)\mathbf{k}=\operatorname{grad}(\sigma/\varepsilon_0)\times\mathbf{k}+(\sigma/\varepsilon_0)\,\operatorname{rot}\mathbf{k}=(\operatorname{grad}\sigma\times\mathbf{k})/\varepsilon_0.$

Но из физических законов нам известно, что $\operatorname{rot}\mathbf{E}=0,$ поскольку у нас тут электростатика, и никакого переменного магнитного поля нет и в помине. А значит, и $\operatorname{grad}\sigma=0,$ и значит, на всей плоскости

$\sigma(x,y)=\mathrm{const}.$

Всё это справедливо только на плоскости, а если мы имеем искривлённую поверхность, то возникают и отклонения от этого равенства (нормальный вектор начинает поворачиваться). На выпуклостях заряд скапливается, и тем больше, чем меньше радиус (особенно на остриях), а из ям уходит, и в идеале внутри замкнутой сферы равен строго нулю.

[shkolnik]

Munin в сообщении #1174376 писал(а):

На выпуклостях заряд скапливается, и тем больше, чем меньше радиус (особенно на остриях), а из ям уходит, и в идеале внутри замкнутой сферы равен строго нулю.

Правильно ли я понимаю, что внутри бесконечной трубы тоже ноль ? А если внутри конуса с острием в бесконечности, то поле однородное ?

[Munin]

shkolnik в сообщении #1174462 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что внутри бесконечной трубы тоже ноль ?

Вообще внутри любой полностью закрытой полости - ноль.

shkolnik в сообщении #1174462 писал(а):

А если внутри конуса с острием в бесконечности, то поле однородное ?

А куда оно будет направлено? Если вдоль оси конуса, то вы имеете касательную компоненту $\Rightarrow$ это невозможно реализовать зарядами на проводнике.

[rustot]

Munin в сообщении #1174359 писал(а):

А посчитайте. Вообще-то вклад кромки в заряд исчезающе мал.

Ну вот гугль ("квант") говорит что плотность заряда в центре круглой проводящей пластины ровно вдвое меньше чем при равномерном его распределении по ней

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1174348 писал(а):

Это и есть теорема Гаусса или уравнение Лапласа. И я не понимаю, почему вы этого сами не видите.

Я это написал пару постов назад.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1174497 писал(а):

Я это написал пару постов назад.

Внимательнее. Вы написали несколько способов, и про один из них сказали, что там вообще нет ни Гаусса, ни Лапласа. Я указал место - "дырку" в вашем способе - где необходимо всё-таки одного из них применить. Конечно, вы упоминали Гаусса и Лапласа выше - но для других способов.

rustot
Ссылку на бочку.