Разложение степенных рядов на множители

[Aritaborian]

Прошу прощения, я немножко начушил (про сферу Римана; какая там, нафиг, минус бесконечность ).

[Ultramarine]

ewert в сообщении #1174277 писал(а):

Ultramarine в сообщении #1174273 писал(а):

И $e^x>0$ при любом комплексном x..

Это сильно вряд ли.

Упс! Конечно же, менее строго $e^x\ne0$

[Aritaborian]

В правой части последнего равенства только иксы, а $i$ отсутствует. Поправьте.

[Ultramarine]

Ultramarine в сообщении #1174280 писал(а):

$\sqrt{x^2+3x+2}=\sqrt{(x+2)(x+1)}=\prod\limits_{i=1}^{\infty}\biggl( \Bigl( 1+\dfrac{x}{2} \Bigr) \Bigl( 1+\dfrac{x}{1} \Bigr) \biggr)$

Aritaborian в сообщении #1174285 писал(а):

В правой части последнего равенства только иксы, а $i$ отсутствует. Поправьте.

Ну это не совсем стандартное применение оператора $\prod\limits_{}^{}$ у меня такое.

Типа $i$ указывает сколько раз надо повторить цикл: умножить одно и тоже подоператорное выражение без изменения. Типа $a^3=\prod\limits_{i=1}^{3}(a)=a\cdot a\cdot a$ — повторить $a$ три раза.

B@R5uk в сообщении #1173415 писал(а):

Ultramarine в сообщении #1173365 писал(а):

Многочлены являются "близкими родственниками" степенных рядов

Вот этим родство на самом деле не родство, а просто совпадение фамилии.

Хорошо сказано!

DeBill в сообщении #1173477 писал(а):

Ultramarine
Посмотрите в Вики: Теорема Вейерштрасса о целых функциях

Хм... Интересно, надо изучить. Спасибо за наводку!

[Someone]

Ultramarine в сообщении #1174287 писал(а):

Ultramarine в сообщении #1174280 писал(а):

$\sqrt{x^2+3x+2}=\sqrt{(x+2)(x+1)}=\prod\limits_{i=1}^{\infty}\biggl( \Bigl( 1+\dfrac{x}{2} \Bigr) \Bigl( 1+\dfrac{x}{1} \Bigr) \biggr)$

Aritaborian в сообщении #1174285 писал(а):

В правой части последнего равенства только иксы, а $i$ отсутствует. Поправьте.

Ну это не совсем стандартное применение оператора $\prod\limits_{}^{}$ у меня такое.

Типа $i$ указывает сколько раз надо повторить цикл: умножить одно и тоже подоператорное выражение без изменения. Типа $a^3=\prod\limits_{i=1}^{3}(a)=a\cdot a\cdot a$ — повторить $a$ три раза.

Это выдаёт ваше непонимание того, что Вы пишете: это произведение, разумным образом интерпретированное, может принимать только три различных значения: $0$, $1$ и $\infty$. Не считая случая, когда оно не определено. Поэтому $\sqrt{x^2+3x+2}$ никак не получится.

[Ultramarine]

Someone, согласен: предположение...

Ultramarine в сообщении #1173322 писал(а):

¿ Правда ли что любой степенной ряд можно разложить на множители как:

$\sum\limits_{i=1}^{\infty}(a_i \cdot t^i)=a_0+a_1 \cdot t+a_2 \cdot t^2+\dots=$
$=a_0\prod\limits_{i=1}^{\infty}(1-\dfrac{t}{t_i})=a_0(1-\dfrac{t}{t_1})(1-\dfrac{t}{t_2})(1-\dfrac{t}{t_3})\dots$,

где $t_1, t_2, t_3, \dots$ — корни степенного ряда.

?

... в общем случае не верно, хотя и есть ряд частных случаев, когда оно будет справедливо.

[Brukvalub]

Ultramarine, одно непонятно: зачем вы всю эту околесицу здесь несете? Ведь с самого начала было ясно, то толку не будет.

[arseniiv]

Ultramarine в сообщении #1174280 писал(а):

Но просто, мне показалось, что в математике не все так думают. Вон в интернете гуляют книжки по нестандартному анализу, в которых на бесконечно малые и бесконечно большие числа смотрят как на "обычные" числа и оперируют с ними наравне с "обычными" числами.

Так там тоже никакой актуальной бесконечности нет, там есть нестандартные элементы, и без небольшого погружения в теорию моделей кто они такие вряд ли можно понять нормально.

[Someone]

Ultramarine в сообщении #1174280 писал(а):

Но просто, мне показалось, что в математике не все так думают. Вон в интернете гуляют книжки по нестандартному анализу, в которых на бесконечно малые и бесконечно большие числа смотрят как на "обычные" числа и оперируют с ними наравне с "обычными" числами.

Ну да, ну да… Только, понимаете, какая пакость: если в "стандартном" анализе какое-то утверждение доказуемо, то оно же доказуемо и в нестандартном анализе. Если в стандартном анализе доказано, что ваше произведение принимает только значения $0$, $1$ и $\infty$, то ровно то же самое будет и в нестандартном. Так что Вы на него не заглядывайтесь. Вам бы с определением предела разобраться. И понять, что такое ряд или бесконечное произведение. Как только это поймёте, охота писать то, что Вы писали, глядишь, и пропадёт… Ну, это я размечтался.

[Aritaborian]

Ultramarine, вы бы сначала заклинание «дельта-эпсилон» вызубрили, а потом уж позволили себе использовать «нестандартные применения оператора».

[Ultramarine]

Brukvalub в сообщении #1174303 писал(а):

Ultramarine, одно непонятно: зачем вы всю эту околесицу здесь несете? Ведь с самого начала было ясно, то толку не будет.

Кому ясно, а мне нет. Поэтому и спрашивал. Разве это не ясно?

[Brukvalub]

Ultramarine в сообщении #1174829 писал(а):

Кому ясно, а мне нет. Поэтому и спрашивал.

Дело в том, что аппарат бесконечных произведений давно разработан и применяется в математике. Достаточно набрать в поисковике "бесконечное произведение", чтобы узнать, например, что есть целые функции, которые представляются как степенным рядом, так и бесконечным произведением, есть так называемые произведения Бляшке, которые помогают факторизовать некоторые голоморфные в единичном круге функции, знаменитая Гамма-функция и некоторые другие спец.функции могут задаваться с помощью бесконечных произведений и т.п.
Но пытаться найти нули степенного ряда - дело, чаще всего, безнадежное, поэтому ряды и бесконечные произведения существуют параллельно. Например, точное расположение нулей ряда Дирихле, задающего дзета-функцию Римана, до сих пор изучить никому не удалось.
Так что тому, кто не поленится сделать тривиальный запрос в поисковике, все сразу становится ясно. Разве это не ясно?