2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2  След.
 
 Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 13:06 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Рассмотрим уравнения
$D^1_t x(t)=f(x(t)) \delta(t-T), \quad (1)$
$D^1_t x(t)=f(x(t)) \delta(t-T)+f(x(t)) \delta(t-2T), \quad (2)$
где T - положительное число, $\delta(\tau)$ - дельта функция Дирака, а $f(x(t))$ например $f(x(t))=x^2(t)$.

На физическом уровне строгости, решаю так: Интегрирую уравнение сначала от от нуля до t<T, а потом от нуля до t>T,
$ \int^t_0 d\tau \, D^1_\tau x(\tau)= \int^t_0 d\tau \, f(x(\tau)) \delta(\tau-T)$
получаю
$ x(t)-x(0)=0 \quad (0<t<T),$
$ x(t)-x(0)= f(x(T))\quad (t>T),$
объединяю решения в виде
$ x(t)-x(0)= H(t-T) \, f(x(T))\quad (t>0),$
где $H(z)$ - функция Хевисайда ($H(z)=0$ при $z<0$, $H(z)=1$ при $z\ge 0$).
Аналогично получаю решение для уравнения (2):
$ x(t)-x(0)= H(t-T) \, f(x(T)) + H(t-2T) \, f(x(2T)) \quad (t>0).$

Однако решение - полученная функция не дифференцируема в стандартном смысле.
Дельта-функция определяется как линейный непрерывный функционал на некотором пространстве основных функций.
Вопрос: Как записать получение решений более строго (используя теорию обобщенных функций) ?

Записываю уравнение в функциональном виде
$<D^1_t x(t);\phi(t)> =<f(x(t)) \delta(t-T);\phi(t)> \quad (3a).$
на пространстве основных функций $\phi(t)$ всех бесконечно дифференцируемых функций на отрезке.
Перекидываю производную (интегрирование по частям) и функцию
$ - <x(t); D^1_t \phi(t)> =<\delta(t-T); f(x(t)) \phi(t)> \quad (3b).$

и что делать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Divergence в сообщении #1172981 писал(а):
$D^1_t x(t)=f(x(t)) \delta(t-T), \quad (1)$
Бредовое, какое-то уравнение. Если все правильно сделать, то получится условие в точке $T$:
$x(T+0)-x(T-0)=f(x(T))$, т.е. разрыв функции определяется ее значением в точке разрыва.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 14:07 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Как аккуратно получить решение на языке функционалов (обобщенных функций) на пространстве основных функций?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 14:20 


11/07/16
801
Может оказаться полезным ответ к $x'(t)=x(t)^2 \delta(x-T)$, производимый как Мэйплом, так и Математикой (с точность до обозначений): $x \left( t \right) =- \left( {\it Heaviside} \left( t-T \right) -{\it 
\_C} \right) ^{-1},
$ где ${\it \_C}$ - постоянная, а ${\it Heaviside}$ - функция Хевисайда. Понятно, что это какое-то обобщенное решение, а не классическое. В общем случае с $f(x(t))$ обе системы производят общее решение в неявном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 14:29 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Мне нужно не просто получение решения, а именно получение (пошаговое обоснование) на языке теории обобщенных функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 14:32 


11/07/16
801
Знание ответа полезно. В частности, он противоречит результату ваших попыток.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 14:53 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Решение полезно, но оно уже выписано: $ x(t)-x(0)= H(t-T) \, f(x(T))\quad (t>0).$

Можно по другому $x(T+0)=x(T-0)+ f(x(T)), где
$x(T-0)=x(0); $x(T+0)=x(t) \quad (t>T).

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 14:59 


11/07/16
801
И Мэйпл, и Математика производят результат, сильно отличающийся от вашего:
${\it Heaviside} \left( t-T \right) -\int ^{x \left( t \right) }\!
 \left( f \left( {\it \_a} \right)  \right) ^{-1}{d{\it \_a}}+{\it 
\_C}=0.
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Divergence,
Уравнение $D^1_t x(t)=f(x(t)) \delta(t-T)$ имеет формальное решение $x(t)=f(\theta(0))\theta(t-T)+C,$ но $\theta(0)$ это все, что угодно, значит и ответ какой угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 17:10 


11/07/16
801
amon в сообщении #1173044 писал(а):
Divergence,
Уравнение $D^1_t x(t)=f(x(t)) \delta(t-T)$ имеет формальное решение $x(t)=f(\theta(0))\theta(t-T)+C,$ но $\theta(0)$ это все, что угодно, значит и ответ какой угодно.

Пожалуйста, обоснуйте это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Markiyan Hirnyk
Я обращал уже ваше внимание, что недопустимо ставить в разделе ПРР решения, некорректно полученные с помощью систем типа Мэпла и Математики. Обобщенных функций вы не знаете, равно как и ОДУ и УЧП.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 17:17 


11/07/16
801
Red_Herring в сообщении #1173059 писал(а):
amon в сообщении #1172999 писал(а):
Бредовое, какое-то уравнение
Это уравнение вполне нормальное и даже замечательное, если целью является проверка понимания основных определений теории обобщенных функций. Увы, пока помощники этого понимания не показали. Рассмотрим первое уравнение
$$
x'(t)=f(x(t))\delta (t-T).
$$
Очевидно, что решение постоянно при $t<T$ и при $t>T$, и может иметь скачок при $t=T$. Но
Произведение справа неопределено, если $f(x(t))$ имеет разрыв при $t=T$.
Поэтому, если f монотонна, то это может быть только когда $f(x(t))$ непрерывна в $t=T$. Т.е. единственным решением будет$ x(t)=c$, где $f(c)=0$.

Если же $f $не монотонна, то ответ более интересен. Пусть решение при $x\lessgtr T$ будет $c_\pm$. Тогда подойдет любое такое решение, т.ч.
$$\left\{\begin{aligned}
&f(c_-)=f(c_+)=d,\\
&c_+ -c_-=f(d).\\
\end{aligned}\right.$$
Первое уравнение это условие непрерывности. Второе--интегрирование уравнения, когда оно имеет смысл.

Для $f(x)=x^3$ Мэйпл производит ответ, отличающийся от предложенного вами:
Код:
dsolve((D(x))(t) = x(t)^3*Dirac(t-T), x(t));
x(t) = 1/sqrt(_C1-2*Heaviside(t-T)), x(t) = -1/sqrt(_C1-2*Heaviside(t-T))


-- 30.11.2016, 16:21 --

Red_Herring в сообщении #1173065 писал(а):
Markiyan Hirnyk
Я обращал уже ваше внимание, что недопустимо ставить в разделе ПРР решения, некорректно полученные с помощью систем типа Мэпла и Математики. Обобщенных функций вы не знаете, равно как и ОДУ и УЧП.

Привожу компьютерные решения для сравнения. Необоснованные высказывания о моей компетенции не производят положительное впечатление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Markiyan Hirnyk в сообщении #1173066 писал(а):
отличающийся от предложенного вами:

Запишите ответ в LaTeX, как положено по правилам форума. И тогда поговорим. При этом без ссылок на то "а я считал, у меня получилось".

-- 30.11.2016, 09:32 --

Вполне возможно, что и Мэпл и Математика используют неявное и нестандартное определение $g(t)\delta (t)=\frac{1}{2}(g(+0)+g(-0))\delta(t)$, если $g$ имеет скачок в $0$. Увы, помимо сомнительных достоинств подобное нововведение имеет несомненные недостатки, и потому должно быть отвергнуто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 17:32 


11/07/16
801
Пожалуйста, вот решения, протранслированные в LaTeX: $x \left( t \right) ={\frac {1}{\sqrt {{\it \_C}-2\,{\it Heaviside}
 \left( t-T \right) }}}
$ и $x \left( t \right) =-{\frac {1}{\sqrt {{\it \_C}-2\,{\it Heaviside}
 \left( t-T \right) }}}.
$ Здесь ${\it \_C}$- постоянная, а ${\it Heaviside}$ - функция Хевисайда. Мэйпловские обозначения зачастую несколько отличаются от стандартных математических обозначений.
Цитата:
Вполне возможно, что и Мэпл и Математика используют неявное и нестандартное определение $g(t)\delta (t)=\frac{1}{2}(g(+0)+g(-0))\delta(t)$, если $g$ имеет скачок в $0$. Увы, помимо сомнительных достоинств подобное нововведение имеет несомненные недостатки, и потому должно быть отвергнуто.

Необоснованные высказывания не производят положительное впечатление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое ОДУ с обобщенной функцией ?
Сообщение30.11.2016, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Ну и теперь: 1) распишите значения при $t<T$ и $t>T$ и подставьте в уравнение, чтобы проверить, удовлетворяется ли оно,.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group