2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 ТФКП, интеграл
Сообщение27.11.2016, 14:01 
Добрый день. Пытаюсь взять такой интеграл $\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\sin xdx}{1+a^2-2a\cos x}=\frac 1 2 \int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{x\sin xdx}{1+a^2-2a\cos x}$, где $0<a<1$. Делаю замену $z=\exp {ix}$, получаю $\frac i 4 \int \frac{(z^2-1) ln{z} dz}{z(z-a)(1-az)}$.
Далее взяв вычет в точке $a$, я нахожу интеграл по изображенному на рисунке контуру, но чтобы найти исходный интеграл вещественной переменной, нужно отнять интегралы по прямым вблизи разреза комплексной плоскости, по разные стороны которого многозначная функция логарифма имеет разные мнимые части, т.е. $ \int\limits_{C}=res_{z=a} f(z)-\int\limits_{l+}-\int\limits_{l-}$, интеграл по стремящейся к нулю дуге $r$ стремится к нулю. Проблема в том, что интегралы по $l+$ и $l-$ расходятся, незнаю что и делать.
Изображение

 
 
 
 Re: ТФКП, интеграл
Сообщение27.11.2016, 14:22 
Аватара пользователя
Viktor92, для начала, попробуйте скормить ваш исходный интеграл вольфраму. Посмотрите на ответ.

 
 
 
 Re: ТФКП, интеграл
Сообщение27.11.2016, 16:03 
Математика отвечает $\frac {\pi\log(1+a)} a$. Загляните в Градштейн и Рыжик.

 
 
 
 Re: ТФКП, интеграл
Сообщение27.11.2016, 16:43 
Аватара пользователя
Markiyan Hirnyk в сообщении #1172172 писал(а):
Математика отвечает $\frac {\pi\log(1+a)} a$

Отлично! Теперь стОит сравнить ответ с вычетом в $a$.

 
 
 
 Re: ТФКП, интеграл
Сообщение27.11.2016, 16:55 
Не стоит. Целесообразно проинтегрировать по частям, т. к. первообразная от $\frac {\sin(x)} {1-2a \cos(x)+a^2}$ легко находится заменой переменной.

 
 
 
 Re: ТФКП, интеграл
Сообщение27.11.2016, 17:17 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Меня одного смущает, что в Градштейна-Рыжика рекомендуют смотреть на несколько сомнительном сайте?

 
 
 
 Re: ТФКП, интеграл
Сообщение27.11.2016, 17:33 
Аватара пользователя
Markiyan Hirnyk в сообщении #1172195 писал(а):
Не стоит. Целесообразно проинтегрировать по частям, т. к. первообразная от $\frac {\sin(x)} {1-2a \cos(x)+a^2}$ легко находится заменой переменной.

Это если сразу рассказать, как правильно решать. А если объяснять, почему исходный подход неудачен, то стоит. :D

 
 
 
 Re: ТФКП, интеграл
Сообщение27.11.2016, 21:57 
Brukvalub в сообщении #1172191 писал(а):
Математика отвечает $\frac {\pi\log(1+a)} a$
Отлично! Теперь стОит сравнить ответ с вычетом в $a$.

Вычет в точке $a$, для случая $0<a<1$ есть $\frac{\pi}{2}\frac{\ln a}{a}$, ответ из задачника $\frac{\pi}{2}\ln(1+a)$ с математикой тоже не сходиться :-)

 
 
 
 Re: ТФКП, интеграл
Сообщение27.11.2016, 22:00 
Аватара пользователя
Viktor92 в сообщении #1172276 писал(а):
ответ из задачника $\frac{\pi}{2}\ln(1+a)$ с математикой тоже не сходиться
Конечно, не сходитЬся, поскольку Markiyan Hirnyk набрал ответ с оЧеПяткой.

 
 
 
 Re: ТФКП, интеграл
Сообщение27.11.2016, 22:05 
Буду пробовать интегрировать по частям, но непонятно, почему для исходного интеграла подобная замена не срабатывает...

 
 
 
 Re: ТФКП, интеграл
Сообщение27.11.2016, 22:11 
Виноват, Математика производит неправильный ответ $\frac {\pi \log(1+1/a)} a.$ Сообщу в Вольфрам.
Правильно $\frac {\pi \log(1+a)} a$ отвечает Мэйпл. Для проверки положите $a=0$ и вы убедитесь, что ответ $\frac {\pi\ln(1+a)} 2$ неверен.

 
 
 
 Re: ТФКП, интеграл
Сообщение27.11.2016, 23:07 
А методами ТФКП он его как-нибудь найти можно, т.к. у меня задача именно на вычеты, если я просто проинтегрирую по частям, то не пойдёт.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group