ТФКП, интеграл

[Viktor92]

Добрый день. Пытаюсь взять такой интеграл $\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\sin xdx}{1+a^2-2a\cos x}=\frac 1 2 \int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{x\sin xdx}{1+a^2-2a\cos x}$, где $0<a<1$. Делаю замену $z=\exp {ix}$, получаю $\frac i 4 \int \frac{(z^2-1) ln{z} dz}{z(z-a)(1-az)}$.
Далее взяв вычет в точке $a$, я нахожу интеграл по изображенному на рисунке контуру, но чтобы найти исходный интеграл вещественной переменной, нужно отнять интегралы по прямым вблизи разреза комплексной плоскости, по разные стороны которого многозначная функция логарифма имеет разные мнимые части, т.е. $ \int\limits_{C}=res_{z=a} f(z)-\int\limits_{l+}-\int\limits_{l-}$, интеграл по стремящейся к нулю дуге $r$ стремится к нулю. Проблема в том, что интегралы по $l+$ и $l-$ расходятся, незнаю что и делать.

[Brukvalub]

Viktor92, для начала, попробуйте скормить ваш исходный интеграл вольфраму. Посмотрите на ответ.

[Markiyan Hirnyk]

Математика отвечает $\frac {\pi\log(1+a)} a$. Загляните в Градштейн и Рыжик.

[Brukvalub]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1172172 писал(а):

Математика отвечает $\frac {\pi\log(1+a)} a$

Отлично! Теперь стОит сравнить ответ с вычетом в $a$.

[Markiyan Hirnyk]

Не стоит. Целесообразно проинтегрировать по частям, т. к. первообразная от $\frac {\sin(x)} {1-2a \cos(x)+a^2}$ легко находится заменой переменной.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Меня одного смущает, что в Градштейна-Рыжика рекомендуют смотреть на несколько сомнительном сайте?

[Brukvalub]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1172195 писал(а):

Не стоит. Целесообразно проинтегрировать по частям, т. к. первообразная от $\frac {\sin(x)} {1-2a \cos(x)+a^2}$ легко находится заменой переменной.

Это если сразу рассказать, как правильно решать. А если объяснять, почему исходный подход неудачен, то стоит.

[Viktor92]

Brukvalub в сообщении #1172191 писал(а):

Математика отвечает $\frac {\pi\log(1+a)} a$
Отлично! Теперь стОит сравнить ответ с вычетом в $a$.

Вычет в точке $a$, для случая $0<a<1$ есть $\frac{\pi}{2}\frac{\ln a}{a}$, ответ из задачника $\frac{\pi}{2}\ln(1+a)$ с математикой тоже не сходиться

[Brukvalub]

Viktor92 в сообщении #1172276 писал(а):

ответ из задачника $\frac{\pi}{2}\ln(1+a)$ с математикой тоже не сходиться

Конечно, не сходитЬся, поскольку Markiyan Hirnyk набрал ответ с оЧеПяткой.

[Viktor92]

Буду пробовать интегрировать по частям, но непонятно, почему для исходного интеграла подобная замена не срабатывает...

[Markiyan Hirnyk]

Виноват, Математика производит неправильный ответ $\frac {\pi \log(1+1/a)} a.$ Сообщу в Вольфрам.
Правильно $\frac {\pi \log(1+a)} a$ отвечает Мэйпл. Для проверки положите $a=0$ и вы убедитесь, что ответ $\frac {\pi\ln(1+a)} 2$ неверен.

[Viktor92]

А методами ТФКП он его как-нибудь найти можно, т.к. у меня задача именно на вычеты, если я просто проинтегрирую по частям, то не пойдёт.