Помогите найти сопряжённый оператор в L2[0,\infty].

[gdmkr]

В пространстве$ L^2[0,\infty]$ дан линейный оператор :
$Lu(x)=u(x+1)$

1)Найти оператор $L^*$
2) Найти ядра и образы $ L^* $ и $L$

В процессе решения пришёл к интегралу от 1 до $\infty$ и не знаю что делать дальше.
$<Lu,v> =\int\limits_{0}^{\infty} u(x+1)\overline{v(x)}dx = [t=x+1]=\int\limits_{1}^{\infty}u(t)\overline{v(t-1)}dt$

[Red_Herring]

И дальше? $L^*v(x)= ?$

[Brukvalub]

ТС не нравится, что последний интеграл начинается не с нуля. Он не догадывается, как нужно доопределить второй множитель подынтегрального выражения, чтобы интеграл начинался с нуля.

[gdmkr]

Brukvalub в сообщении #1170740 писал(а):

ТС не нравится, что последний интеграл начинается не с нуля. Он не догадывается, как нужно доопределить второй множитель подынтегрального выражения, чтобы интеграл начинался с нуля.

Подскажите, пожалуйста, если догадываетесь.

[Brukvalub]

gdmkr, а правила местные читали?

[gdmkr]

Brukvalub А что нарушил ?

[vlad_light]

Я не специалист, но, вроде, можно домножить на индикатор $I(x) = \mathbf 1 _{[1, +\infty)}(x)$ и считать интеграл от 0.

[Brukvalub]

vlad_light в сообщении #1170795 писал(а):

можно домножить на индикатор $I(x) = \mathbf 1 _{[1, +\infty)}(x)$ и считать интеграл от 0

Какую функцию домножить на индикатор?

gdmkr в сообщении #1170793 писал(а):

А что нарушил ?

Я дал достаточно информации, если я начну подсказывать дальше, то нарушу правило "не сообщать полных решений тривиальных учебных задач".

[Mikhail_K]

gdmkr, смотрите. У Вас получился интеграл от $1$ до $+\infty$, а нужен интеграл от $0$ до $+\infty$. Может быть, можно правый сомножитель как-то доопределить на отрезке $[0,1]$, чтобы Ваш интеграл был равен соответствующему интегралу от $0$ до $+\infty$?