Предел минимального собственного числа матрицы

[prof.uskov]

Дело в том, что достаточное условие должно работать для любой матрицы.
Пример матрицы для проверки, если так хотите:
$\left( \begin{array}{cc} N & \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i} \\ \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i} & \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2} \end{array} \right)$

-- 20.11.2016, 23:35 --

Vince Diesel в сообщении #1170439 писал(а):

Так что критерием будет $\lim_{N\to\infty}\|A_N^{-1}\|_2=0$.

Это сложно, нужно обратную матрицу искать.

-- 20.11.2016, 23:44 --

Slav-27 :)

[Brukvalub]

prof.uskov в сообщении #1170440 писал(а):

Дело в том, что достаточное условие должно работать для любой матрицы.

Тяжелый случай... ТС не понимает смысла термина "достаточное условие", но пытается его использовать. Кроме того, он не может внятно сформулировать задачу, поскольку сам не понимает, чего он хочет.
Пора звать штатных экстрасенсов!

[prof.uskov]

Brukvalub в сообщении #1170448 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1170440 писал(а):

Дело в том, что достаточное условие должно работать для любой матрицы.

Тяжелый случай... ТС не понимает смысла термина "достаточное условие", но пытается его использовать. Кроме того, он не может внятно сформулировать задачу, поскольку сам не понимает, чего он хочет.
Пора звать штатных экстрасенсов!

Достаточное условие, чтобы $\lambda_{min} \rightarrow + \infty$, т.е. я предполагаю, что может существовать матрица А, для которой будет $\lambda_{min} \rightarrow + \infty$, но проверка условия для нее будет давать отрицательный результат.

Когда я писал "Дело в том, что достаточное условие должно работать для любой матрицы" я подразумевал, что любую матрицу в него можно подставить, т.е. с любыми функциями и любой размерности.

[Евгений Машеров]

Поиграю в Вольфа Мессинга. Матрица не просто положительно определённая, а матрица Грама. А таинственный N это большая размерность матрицы, перемножением которой на себя получается матрица Грама. Но стремления минимального с.з. к бесконечности не гарантируется, лишь его неубывание.

[prof.uskov]

Евгений Машеров в сообщении #1170453 писал(а):

Поиграю в Вольфа Мессинга. Матрица не просто положительно определённая, а матрица Грама. А таинственный N это большая размерность матрицы, перемножением которой на себя получается матрица Грама. Но стремления минимального с.з. к бесконечности не гарантируется, лишь его неубывание.

Честно говоря ничего не понял. Но что-то умное. :)
Я привел пример матрицы для проверки. Кстати, Евгений Машеров, Вы-то должны догадаться откуда она взята?!

[iifat]

А какие размерности у ваших матриц? Для приведённой вами проще всего, как по мне, таки записать выражение для корней, хоть оно и будет зубодробительным. Что может быть сильно проще — как-то не верю.

[prof.uskov]

iifat в сообщении #1170465 писал(а):

А какие размерности у ваших матриц? Для приведённой вами проще всего, как по мне, таки записать выражение для корней, хоть оно и будет зубодробительным. Что может быть сильно проще — как-то не верю.

В общем случае любой. Для размерности 1 решение тривиально. Получается, для размерности 2 уже имеются значительные сложности?

[dsge]

iifat в сообщении #1170465 писал(а):

Для приведённой вами проще всего, как по мне, таки записать выражение для корней, хоть оно и будет зубодробительным.

Учитывая чему равны суммы, предел считается без проблем.

[prof.uskov]

Для матрицы $\left( \begin{array}{cc} N & \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i} \\ \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i} & \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2} \end{array} \right)$
получается характеристическое уравнение, если я не напутал
$\lambda{^2}-\lambda(N+\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})+(N\sum\limits_{i=1}^{N}{i}-(\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})^2)=0$
Как не решая показать, что при $N\rightarrow + \infty$ будет $\lambda \rightarrow + \infty ?$

[Someone]

prof.uskov в сообщении #1170470 писал(а):

если я не напутал
$\lambda{^2}-\lambda(N+\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})+(N\sum\limits_{i=1}^{N}{i}-(\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})^2)=0$

Конечно, напутали.

[prof.uskov]

Someone в сообщении #1170472 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1170470 писал(а):

если я не напутал
$\lambda{^2}-\lambda(N+\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})+(N\sum\limits_{i=1}^{N}{i}-(\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})^2)=0$

Конечно, напутали.

Одну опечатку нашел
$\lambda{^2}-\lambda(N+\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})+(N\sum\limits_{i=1}^{N}{i^2}-(\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})^2)=0$

[Xaositect]

Ну, кстати, можно посмотреть на коэффициенты характеристического многочлена. Если $\sigma_k(\vec{\lambda})$ большие, то и все $\lambda_i$ будут большие.

[iifat]

prof.uskov в сообщении #1170470 писал(а):

получается характеристическое уравнение

Ну, дальше же ж. $\sum\limits_{i=1}^Ni=\frac{N(N+1)}2$. И т.п.
Кстати, корни при росте $N$ получаются разных знаков. Вас интересует минимальное по модулю, или минимальное число?

-- 21.11.2016, 13:01 --

prof.uskov в сообщении #1170466 писал(а):

значительные

Ну, значительные или нет — смотреть надо конкретно.

Xaositect в сообщении #1170475 писал(а):

Если $\sigma_k(\vec{\lambda})$ большие, то и все $\lambda_i$ будут большие

Вот этого не понял. Фиксируем корень $0,1$, а второй устремляем к $+\infty$ — разве $\sigma_{1,2}$ не будут расти?

[Евгений Машеров]

Xaositect в сообщении #1170475 писал(а):

Ну, кстати, можно посмотреть на коэффициенты характеристического многочлена. Если $\sigma_k(\vec{\lambda})$ большие, то и все $\lambda_i$ будут большие.

Вовсе не обязательно. Отчего бы уравнению с большими коэффициентами не иметь один малый корень?

-- 21 ноя 2016, 08:49 --

prof.uskov в сообщении #1170454 писал(а):

Кстати, Евгений Машеров, Вы-то должны догадаться откуда она взята?!

Ну, регрессию Вы считаете,

(Оффтоп)

не бином Ньютона и я не Мориарти

. $X^TX$ - матрица Грама, полученная перемножением матрицы Х на себя же, но транспонированную. Вы желаете, чтобы при пополнении набора данных мультиколлинеарность сама собою уходила. Не будет. Вообще говоря, минимальное собственное значение не обязано расти. Неубывать - будет. По оценкам для собственных значений суммы матриц. Но не более. Может оставаться тем же.

-- 21 ноя 2016, 08:51 --

iifat в сообщении #1170491 писал(а):

Кстати, корни при росте $N$ получаются разных знаков. Вас интересует минимальное по модулю, или минимальное число?

Не должно. Матрица должна быть положительно определённой.

[Xaositect]

Евгений Машеров в сообщении #1170510 писал(а):

Вовсе не обязательно. Отчего бы уравнению с большими коэффициентами не иметь один малый корень?

Да, Вы правы, там тоже максимальный корень.