2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение20.11.2016, 22:34 
Аватара пользователя
Дело в том, что достаточное условие должно работать для любой матрицы.
Пример матрицы для проверки, если так хотите:
$\left( \begin{array}{cc} N & \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i} \\ \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i} & \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2} \end{array} \right)$

-- 20.11.2016, 23:35 --

Vince Diesel в сообщении #1170439 писал(а):
Так что критерием будет $\lim_{N\to\infty}\|A_N^{-1}\|_2=0$.

Это сложно, нужно обратную матрицу искать.

-- 20.11.2016, 23:44 --

Slav-27 :)

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение20.11.2016, 22:51 
Аватара пользователя
prof.uskov в сообщении #1170440 писал(а):
Дело в том, что достаточное условие должно работать для любой матрицы.

Тяжелый случай... ТС не понимает смысла термина "достаточное условие", но пытается его использовать. Кроме того, он не может внятно сформулировать задачу, поскольку сам не понимает, чего он хочет.
Пора звать штатных экстрасенсов! :D

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение20.11.2016, 22:55 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #1170448 писал(а):
prof.uskov в сообщении #1170440 писал(а):
Дело в том, что достаточное условие должно работать для любой матрицы.

Тяжелый случай... ТС не понимает смысла термина "достаточное условие", но пытается его использовать. Кроме того, он не может внятно сформулировать задачу, поскольку сам не понимает, чего он хочет.
Пора звать штатных экстрасенсов! :D

Достаточное условие, чтобы $\lambda_{min} \rightarrow + \infty$, т.е. я предполагаю, что может существовать матрица А, для которой будет $\lambda_{min} \rightarrow + \infty$, но проверка условия для нее будет давать отрицательный результат.

Когда я писал "Дело в том, что достаточное условие должно работать для любой матрицы" я подразумевал, что любую матрицу в него можно подставить, т.е. с любыми функциями и любой размерности.

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение20.11.2016, 23:05 
Аватара пользователя
Поиграю в Вольфа Мессинга. Матрица не просто положительно определённая, а матрица Грама. А таинственный N это большая размерность матрицы, перемножением которой на себя получается матрица Грама. Но стремления минимального с.з. к бесконечности не гарантируется, лишь его неубывание.

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение20.11.2016, 23:09 
Аватара пользователя
Евгений Машеров в сообщении #1170453 писал(а):
Поиграю в Вольфа Мессинга. Матрица не просто положительно определённая, а матрица Грама. А таинственный N это большая размерность матрицы, перемножением которой на себя получается матрица Грама. Но стремления минимального с.з. к бесконечности не гарантируется, лишь его неубывание.

Честно говоря ничего не понял. Но что-то умное. :)
Я привел пример матрицы для проверки. Кстати, Евгений Машеров, Вы-то должны догадаться откуда она взята?!

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 00:26 
А какие размерности у ваших матриц? Для приведённой вами проще всего, как по мне, таки записать выражение для корней, хоть оно и будет зубодробительным. Что может быть сильно проще — как-то не верю.

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 00:31 
Аватара пользователя
iifat в сообщении #1170465 писал(а):
А какие размерности у ваших матриц? Для приведённой вами проще всего, как по мне, таки записать выражение для корней, хоть оно и будет зубодробительным. Что может быть сильно проще — как-то не верю.

В общем случае любой. Для размерности 1 решение тривиально. Получается, для размерности 2 уже имеются значительные сложности?

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 00:33 
iifat в сообщении #1170465 писал(а):
Для приведённой вами проще всего, как по мне, таки записать выражение для корней, хоть оно и будет зубодробительным.

Учитывая чему равны суммы, предел считается без проблем.

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 00:59 
Аватара пользователя
Для матрицы $\left( \begin{array}{cc} N & \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i} \\ \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i} & \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2} \end{array} \right)$
получается характеристическое уравнение, если я не напутал
$\lambda{^2}-\lambda(N+\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})+(N\sum\limits_{i=1}^{N}{i}-(\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})^2)=0$
Как не решая показать, что при $N\rightarrow + \infty$ будет $\lambda \rightarrow + \infty ?$

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 01:13 
Аватара пользователя
prof.uskov в сообщении #1170470 писал(а):
если я не напутал
$\lambda{^2}-\lambda(N+\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})+(N\sum\limits_{i=1}^{N}{i}-(\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})^2)=0$
Конечно, напутали.

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 01:22 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #1170472 писал(а):
prof.uskov в сообщении #1170470 писал(а):
если я не напутал
$\lambda{^2}-\lambda(N+\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})+(N\sum\limits_{i=1}^{N}{i}-(\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})^2)=0$
Конечно, напутали.

Одну опечатку нашел
$\lambda{^2}-\lambda(N+\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})+(N\sum\limits_{i=1}^{N}{i^2}-(\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})^2)=0$

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 01:32 
Аватара пользователя
Ну, кстати, можно посмотреть на коэффициенты характеристического многочлена. Если $\sigma_k(\vec{\lambda})$ большие, то и все $\lambda_i$ будут большие.

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 05:44 
prof.uskov в сообщении #1170470 писал(а):
получается характеристическое уравнение
Ну, дальше же ж. $\sum\limits_{i=1}^Ni=\frac{N(N+1)}2$. И т.п.
Кстати, корни при росте $N$ получаются разных знаков. Вас интересует минимальное по модулю, или минимальное число?

-- 21.11.2016, 13:01 --

prof.uskov в сообщении #1170466 писал(а):
значительные
Ну, значительные или нет — смотреть надо конкретно.
Xaositect в сообщении #1170475 писал(а):
Если $\sigma_k(\vec{\lambda})$ большие, то и все $\lambda_i$ будут большие
Вот этого не понял. Фиксируем корень $0,1$, а второй устремляем к $+\infty$ — разве $\sigma_{1,2}$ не будут расти?

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 08:44 
Аватара пользователя
Xaositect в сообщении #1170475 писал(а):
Ну, кстати, можно посмотреть на коэффициенты характеристического многочлена. Если $\sigma_k(\vec{\lambda})$ большие, то и все $\lambda_i$ будут большие.


Вовсе не обязательно. Отчего бы уравнению с большими коэффициентами не иметь один малый корень?

-- 21 ноя 2016, 08:49 --

prof.uskov в сообщении #1170454 писал(а):
Кстати, Евгений Машеров, Вы-то должны догадаться откуда она взята?!


Ну, регрессию Вы считаете,

(Оффтоп)

не бином Ньютона и я не Мориарти
. $X^TX$ - матрица Грама, полученная перемножением матрицы Х на себя же, но транспонированную. Вы желаете, чтобы при пополнении набора данных мультиколлинеарность сама собою уходила. Не будет. Вообще говоря, минимальное собственное значение не обязано расти. Неубывать - будет. По оценкам для собственных значений суммы матриц. Но не более. Может оставаться тем же.

-- 21 ноя 2016, 08:51 --

iifat в сообщении #1170491 писал(а):
Кстати, корни при росте $N$ получаются разных знаков. Вас интересует минимальное по модулю, или минимальное число?


Не должно. Матрица должна быть положительно определённой.

 
 
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 10:00 
Аватара пользователя
Евгений Машеров в сообщении #1170510 писал(а):
Вовсе не обязательно. Отчего бы уравнению с большими коэффициентами не иметь один малый корень?
Да, Вы правы, там тоже максимальный корень.

 
 
 [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group