Шансы существования булочки с $\ge k$ изюминами

[user14284]

Задача. Из теста c $m$ изюминами сделали $n$ одинаковых по размеру булочек. Какова вероятность существования булочки с $\ge k$ изюминами?

Решение. Вероятность, что в случайно выбранной булочке будет $<k$ изюмин равна

$$p:=\sum_{i=0}^{k-1} \frac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!},$$

где $\lambda=m/n$. Вероятность, что все булочки будут такие равна $p^n$. Вероятность, что найдется булочка с $\ge k$ изюминами будет $1-p^n$. Правильно?

[Brukvalub]

user14284 в сообщении #1168607 писал(а):

Вероятность, что все булочки будут такие равна $p^n$

А если булочек будет больше, чем изюмин?

[user14284]

Там получаются зависимые вероятности и их нельзя умножать так просто? Как тогда решить можно?

[B@R5uk]

Там ещё очевидно существует такой случай, когда булочек мало, изюмин много, пороговое число изюмин небольшое и искомая вероятность задачи равна единице. Потому что спрашивается не вероятность для данной конкретной (или любой одной случайной, что одно и то же) булочки, а некая вероятность общего для всех булочек события.

[user14284]

B@R5uk в сообщении #1168687 писал(а):

Потому что спрашивается не вероятность для данной конкретной (или любой одной случайной, что одно и то же) булочки, а некая вероятность общего для всех булочек события.

Ничего не понял.

[B@R5uk]

user14284 в сообщении #1168772 писал(а):

Ничего не понял.

Упрощённый пример. Вы бросаете три игральные кости. Какова вероятность, что на одной из них выпадет шестёрка? Какова вероятность, что хотя бы на одной из них выпадет шестёрка? Чувствуете разницу?

[user14284]

Как это связано с моей задачей? Вопрос у меня конкретный: с какой вероятностью существует булочка с $\ge k$ изюминами. Я пытался считать от противного, то есть через вероятность, что у всех булочек будет $<k$.

[Brukvalub]

user14284 в сообщении #1168777 писал(а):

Я пытался считать от противного, то есть через вероятность, что у всех булочек будет $<k$.

Ну, так проверьте свой ответ для вырожденных случаев.

[--mS--]

Если в задаче встречаются слова "изюминка" и "булочка" - это ещё не достаточный повод использовать распределение Пуассона.

[user14284]

Brukvalub в сообщении #1168786 писал(а):

Ну, так проверьте свой ответ для вырожденных случаев.

Я знаю, что он неправильный и прошу помощи.

[Red_Herring]

--mS-- в сообщении #1168832 писал(а):

сли в задаче встречаются слова "изюминка" и "булочка" - это ещё не достаточный повод использовать распределение Пуассона.

Тем более, что poisson –– не "булочка", а "рыба" (фр).