Сложность решения системы уравнений второго порядка

[ivanp7]

Дана система из девяти алгебраических уравнений второго порядка с девятью неизвестными, коэффициенты выражаются через известные константы. Решение нужно получить в аналитическом виде. Подскажите пожалуйста, насколько сложна данная задача? Более конкретно, не будет ли запись формул занимать несколько простыней - соответсвенно, разумно ли прикладывать усилия при данной постановке вопроса? А то Mathematica уж больно что-то долго считает. Может быть есть какие-либо более специализированные методы/утилиты для систем второго порядка?
P.S. Система, полученная из эквивалентной постановки задачи, имеет меньшее число неизвестных и уравнений, но их порядок выше. Какую систему проще решать?

[warlock66613]

ivanp7 в сообщении #1168487 писал(а):

Решение нужно получить в аналитическом виде.

Как вы вообще это себе представляете?

[B@R5uk]

ivanp7 в сообщении #1168487 писал(а):

Подскажите пожалуйста, насколько сложна данная задача?

Задача решаема. Эквивалентными преобразованиями всё сводится к системе, где одно из уравнений относительно одной переменной, но степень его равна произведению степеней всех уравнений (или меньше). Я, правда, решал для общей системы двух уравнений двух переменных: одно — второй, а второе — третьей степени. Для общего алгоритма гуглите ключевые слова Базисы Грёбнера и алгоритм Бухбергера.

ivanp7 в сообщении #1168487 писал(а):

Решение нужно получить в аналитическом виде.

Не забывайте, что по теореме Абеля—Руффини уравнения степени выше пятой в общем случае не имеют решения в радикалах. Разумеется всегда можно разыскать эти корни численно, но для больших степеней для численного счёта может не хватить разрядности арифметики. В этой связи смотрите пример Уилкинсона.

И да, у вас в худшем случае будет $2^9=512$ степень уравнения с одной неизвестной и приблизительно столько же корней. Думаю, надо отказаться от аналитического подхода и решать задачу исключительно численными. Учитывая количество корней, скорее всего стохастическими, отказавшись от требования найти их все.

[Vince Diesel]

ivanp7 в сообщении #1168487 писал(а):

коэффициенты выражаются через известные константы.

Алгебраические или вроде $e$ и $\pi$? В последнем случае это может быть немногим лучше символьных коэффициентов.

B@R5uk в сообщении #1168557 писал(а):

Для общего алгоритма гуглите ключевые слова Базисы Грёбнера и алгоритм Бухбергера.

В математике есть эти команды. Только, скорее всего, именно их она и использует для решения алгебраических систем, как вы описали. Хотя, алгоритмы там эффективные, возможно, уравнение с одной переменной с помощью базисов Гребнера быстро считается. А глядя на него, можно будет сказать, что поиск корней в аналитическом виде $-$ беcперспективно.

ivanp7 в сообщении #1168487 писал(а):

P.S. Система, полученная из эквивалентной постановки задачи, имеет меньшее число неизвестных и уравнений, но их порядок выше. Какую систему проще решать?

Попробуйте для обеих еще команду FindInstance. Может, одно решение математика быстрее найдет. Если, конечно, хорошие решения вообще есть.

[ivanp7]

B@R5uk в сообщении #1168557 писал(а):

И да, у вас в худшем случае будет $2^9=512$ степень уравнения с одной неизвестной и приблизительно столько же корней. Думаю, надо отказаться от аналитического подхода и решать задачу исключительно численными. Учитывая количество корней, скорее всего стохастическими, отказавшись от требования найти их все.

Забыл добавить, что на переменные наложены такие ограничения, которым удовлетворяет только одно решение, которое гарантированно существует. Грубо говоря, все неизвестные находятся в некоторой окрестности нуля, при этом других решений в той же области нет. Меня интересует только это решение.

Vince Diesel в сообщении #1168579 писал(а):

Алгебраические или вроде $e$ и $\pi$?

Скажем так, коэффициенты системы являются квадратичными формами (с рациональными коэффициентами, извиняюсь за тавтологию) от $1$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{6}$ и неких констант $k$, $L_1$, $L_2$, $L_3$.

Vince Diesel в сообщении #1168579 писал(а):

Попробуйте для обеих еще команду FindInstance. Может, одно решение математика быстрее найдет. Если, конечно, хорошие решения вообще есть.

Как минимум одно решение, удовлетворяющее ограничениям, точно есть. Для $L_1=L_2=L_3=0$ я знаю формулу точного решения, но FindInstance почему-то выдает пустой результат при конкретном $k$ для системы с девятью уравнениями. В правильности ввода я не сомневаюсь и в существовании решения тоже. Для другой системы сейчас попробую.

[B@R5uk]

Может вы приведёте здесь ваши уравнения?

[ivanp7]

$\begin{cases} -(1 - k + L_1)^2 + (-(1/\sqrt{3}) + x_1)^2 + y_1^2 + (1/(2 \sqrt{6}) + z_1)^2 = 0\\ -(1 - k + L_2)^2 + (1/(2 \sqrt{3}) + x_2)^2 + (-(1/2) + y_2)^2 + (1/(2 \sqrt{6}) + z_2)^2 = 0\\ -(1 - k + L_3)^2 + (1/(2 \sqrt{3}) + x_3)^2 + (1/2 + y_3)^2 + (1/(2 \sqrt{6}) + z_3)^2 = 0\\ -((8 k^2)/3) + (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 = 0\\ -((8 k^2)/3) + (x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2 + (z_1 - z_3)^2 = 0\\ -((8 k^2)/3) + (x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2 + (z_2 - z_3)^2 = 0\\ (-(1/\sqrt{3}) + x_1) (x_2 - x_3) + y_1 (y_2 - y_3) + (1/(2 \sqrt{6}) + z_1) (z_2 - z_3) = 0\\ (1/(2 \sqrt{3}) + x_2) (x_1 - x_3) + (-(1/2) + y_2) (y_1 - y_3) + (1/(2 \sqrt{6}) + z_2) (z_1 - z_3) = 0\\ (x_1 - x_2) (1/(2 \sqrt{3}) + x_3) + (y_1 - y_2) (1/2 + y_3) + (z_1 - z_2) (1/(2 \sqrt{6}) + z_3) = 0 \end{cases}$
при условии $|x_i|<1, |y_i|<1, |z_i|<1$

P.S. Только что обратил внимание, что у меня нету членов $x_i y_j$, $x_i z_j$ и $z_i y_j$.
Может быть получится разбить систему на 3 по 3 уравнения с переменными $x_i$, $y_i$ и $z_i$ соответственно?

[ivanp7]

Возможно ли принципиально такое разбиение?

[B@R5uk]

Ну, система обладает определённой степенью хорошести. Это не общая система, которая могла быть, а весьма специфичная. Специфичность проявляется в том, что искомые координаты задают равносторонний треугольник, стороны которого ортогональны определённым направлениям, а вершины имеют определённые расстояния от заданных точек. Может вы тогда и условие исходной задачи приведёте, которую вы пытаетесь решить в лоб применяя метод координат? Вдруг там есть что-то, что из координат не видно, но что позволяет, если не выписать правильное решение навскидку, то хотя бы упростить его поиск?

[ivanp7]

Есть 2 равносторонних треугольника в трехмерном пространстве - "большой" и "малый". Даны координаты "большого" треугольника и коэффициент подобия $k$ "малого", а также расстояния $L_1$, $L_2$, $L_3$ между соответствующими парами вершин этих треугольников. Найти координаты центра "малого" треугольника при условии, что векторы между парами вершин этих треугольников (которые имеют длины $L_1$, $L_2$, $L_3$) перпендикулярны соответствующим сторонам "малого" треугольника.

[B@R5uk]

Зафиксируйте положение малого треугольника. Тогда положение каждого из отрезков, которые имеют длины $L_1$, $L_2$, $L_3$, будут определены с точностью до угла. Останется подобрать эти три угла так, чтобы свободные концы образовывали треугольник нужного размера. Размерность задачи в таком виде не девять, а три.

Вам обязательно аналитическое решение?

[ivanp7]

B@R5uk в сообщении #1168684 писал(а):

Зафиксируйте положение малого треугольника. Тогда положение каждого из отрезков, которые имеют длины $L_1$, $L_2$, $L_3$ будут определены с точностью до угла. Останется подобрать эти три угла так, чтобы свободные концы образовывали треугольник нужного размера. Размерность задачи в таком виде не девять, а три.

Поворот треугольника неизвестным образом зависит от его местоположения. У меня получается, что минимальная размерность задачи равна 5 -- это 3 координаты центра и 2 угла поворота (оказалось, что третий угол, как говорится, лишний). Новая система состоит из шести уравнений (что выбросить, еще не разобрался) с пятью неизвестными и содержит синусы и косинусы, степень не выше четвертой.

Цитата:

Вам обязательно аналитическое решение?

Очень желательно.

[пианист]

Добавлю свои $0.05.
Количество значков уменьшится, если вместо $z_i$ взять $z_i + \frac{1}{2 \sqrt 6}$, вместо $x_1$ $x_1 - \frac{1}{\sqrt 3}$, $x_2$, $x_3$ - $x_2 + \frac{1}{2 \sqrt 3}$, $x_3 + \frac{1}{2 \sqrt 3}$ соответственно.

[B@R5uk]

ivanp7 в сообщении #1168822 писал(а):

У меня получается, что минимальная размерность задачи равна 5...

Ну, тогда обдумайте ещё раз то, что я вам предложил. Малый треугольник логично фиксировать самым удобным образом: в плоскости Oxy, симметрично относительно одной из осей, с центром в начале координат. Тогда координаты вершин большого треугольника выражаются через искомые три угла самым простым образом. Вернее даже координаты каждой вершины будут выражаться через один (свой для каждой из них) угол.

[ivanp7]

B@R5uk в сообщении #1168923 писал(а):

Ну, тогда обдумайте ещё раз то, что я вам предложил. Малый треугольник логично фиксировать самым удобным образом: в плоскости Oxy, симметрично относительно одной из осей, с центром в начале координат. Тогда координаты вершин большого треугольника выражаются через искомые три угла самым простым образом. Вернее даже координаты каждой вершины будут выражаться через один (свой для каждой из них) угол.

Всё, теперь я понял, что вы имели ввиду. Действительно, в задаче 3 степени свободы. Я чувствовал, что так и должно быть, но никак не удавалось представить картину подходящим образом.
Сейчас система состоит из трех уравнений четвертой степени. Буду надеяться, что ее сможет осилить Mathematica.
Спасибо.