Сложность решения системы уравнений второго порядка

[kotenok gav]

ivanp7 в сообщении #1168982 писал(а):

Сейчас система состоит из трех уравнений четвертой степени.

О методе ферари слышали?
Да, признаю что он очень сложный, но это и есть аналитическое решение.

[arseniiv]

Феррари всё-таки. И это для одного уравнения четвёртой степени от одной неизвестной — а здесь три более чем от одной, и если одну вы и выразите через остальные, то дальше в общем случае будут проблемы. Давайте не советовать, когда не уверены.

[ivanp7]

Да, хоть и уравнения не выглядят сильно ужасными -- в каждом присутствует только две переменные, но если выражать одну через другую, получается простыня. Надежды не оправдались, придется применять численные. Порекомендуете какой-нибудь метод, который часто используют для подобных систем?

[B@R5uk]

Ну, есть метод грубой силы для решения любых систем уравнений с любым числом неизвестных. Переписываем уравнения так, чтобы справа были нули, левые части возводим в квадрат и складываем. У получившейся целевой функции ищем минимум. По построению она неотрицательна и равна нулю на искомых решениях. Так что ищем минимум и проверяем значение функции в нём. Методов многомерной оптимизации тьма-тьмущая (с производными, без производных, стохастические и так далее). Проблема такого дубового подхода в том, что чем больше переменных и хитрее функции в системе, тем больше отличных от нуля локальных минимумов у целевой функции со всеми вытекающими последствиями.

В вашем случае я бы действовал так: из первого и второго уравнения выразил бы вторую и третью неизвестные через первую. Для первой нашёл области значений, в которых такие выражения возможны. Это всё делается аналитически. Потом подставил бы всё в третье уравнение и получил бы задачу на одну переменную, которую бы решал бы численно. Главное не ошибиться с количеством корней. Для начального приближения взять сеточку по-гуще, выявить смены знака, а дальше делением отрезка пополам.

[ivanp7]

B@R5uk в сообщении #1169048 писал(а):

В вашем случае я бы действовал так: из первого и второго уравнения выразил бы вторую и третью неизвестные через первую. Для первой нашёл области значений, в которых такие выражения возможны. Это всё делается аналитически. Потом подставил бы всё в третье уравнение и получил бы задачу на одну переменную, которую бы решал бы численно. Главное не ошибиться с количеством корней. Для начального приближения взять сеточку по-гуще, выявить смены знака, а дальше делением отрезка пополам.

Огромное спасибо за помощь, попробую подставить, хотя уравнение получится не для слабонервных :)

[Vince Diesel]

В математика команда NSolve не работает?

B@R5uk в сообщении #1169048 писал(а):

Потом подставил бы всё в третье уравнение и получил бы задачу на одну переменную, которую бы решал бы численно.

В математике все это делается с помощью одной команды для базисов Гребнера. Корни многочленов опять же, численно там находятся все и с произвольной точностью. Если коэффициенты заданы без десятичной точки.

[ivanp7]

Vince Diesel в сообщении #1169063 писал(а):

В математика команда NSolve не работает?

Работает, но мне нужно решение вне Математики.

[ivanp7]

Исправил у себя ошибку, в результате чего выражения одних переменных от других стали настолько огромными и ужасными, что идея от подстановке в одно уравнение просто исключается. Буду думать о многомерной оптимизации.

[Aritaborian]

ivanp7 в сообщении #1169086 писал(а):

мне нужно решение вне Математики.

Мало того, что вы желаете аналитического решения, так вам к тому же радикально необходимо, чтобы обязательно не Математика решала?!

[B@R5uk]

ivanp7 в сообщении #1169141 писал(а):

выражения одних переменных от других стали настолько огромными и ужасными, что идея от подстановке в одно уравнение просто исключается.

Чего это вдруг? Уравнения не такие уж и сложные:

$$\[\left\{ \begin{matrix} 2\sin {{\alpha }_{1}}\sin {{\alpha }_{2}}-\cos {{\alpha }_{1}}\cos {{\alpha }_{2}}-\frac{3a}{{{L}_{2}}}\cos {{\alpha }_{1}}-\frac{3a}{{{L}_{1}}}\cos {{\alpha }_{2}}=\frac{3{{a}^{2}}+L_{1}^{2}+L_{2}^{2}-{{b}^{2}}}{{{L}_{1}}{{L}_{2}}} \\ 2\sin {{\alpha }_{1}}\sin {{\alpha }_{3}}-\cos {{\alpha }_{1}}\cos {{\alpha }_{3}}-\frac{3a}{{{L}_{3}}}\cos {{\alpha }_{1}}-\frac{3a}{{{L}_{1}}}\cos {{\alpha }_{3}}=\frac{3{{a}^{2}}+L_{1}^{2}+L_{3}^{2}-{{b}^{2}}}{{{L}_{1}}{{L}_{3}}} \\ 2\sin {{\alpha }_{2}}\sin {{\alpha }_{3}}-\cos {{\alpha }_{2}}\cos {{\alpha }_{3}}-\frac{3a}{{{L}_{3}}}\cos {{\alpha }_{2}}-\frac{3a}{{{L}_{2}}}\cos {{\alpha }_{3}}=\frac{3{{a}^{2}}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}-{{b}^{2}}}{{{L}_{2}}{{L}_{3}}} \\ \end{matrix} \right.\]$$

Второй и третий угол через первый из первых двух уравнений запросто выражается. Возможно, надо не целиком через исходные переменные решение выражать, а делать по ходу замены. Например, правые части можно сразу какой-нибудь буквой с индексами обозначить. Если вы будете делать программную реализацию решения, то это фактически оптимизация вычислений (а не только компактность записи). С областью допустимых значений первого угла придётся повозиться, правда, но это тоже не сильно сложно. Там везде первая или вторая степень от тригонометрических функций искомых углов.

[kotenok gav]

B@R5uk в сообщении #1169154 писал(а):

Второй и третий угол через первый из первых двух уравнений запросто выражается.

Интересно как?

[Лукомор]

Извините, мне вот непонятно, почему у нас тут девять неизвестных.
В задаче спрашиваются ведь координаты точки - центра меньшого треугольника, откуда девять неизвестных ?

[Лукомор]

ivanp7 в сообщении #1168822 писал(а):

Поворот треугольника неизвестным образом зависит от его местоположения.

Поворот треугольника никак не влияет на положение его центра.
Как ни крути, вершины треугольника будут лежать на сфере радиуса
$R=a\frac{\sqrt{3}}{3}$.

[B@R5uk]

kotenok gav в сообщении #1169159 писал(а):

Интересно как?

Ткачук, раздел про тригонометрию, элементарная часть.

[ivanp7]

kotenok gav в сообщении #1169159 писал(а):

Второй и третий угол через первый из первых двух уравнений запросто выражается.

Уравнения не сложные, но на выражения одной переменной через другую это не распространяется.
P.S. По крайней мере Mathematica выдает простыню с условиями
P.P.S. Если сделать замену синусов и косинусов по формуле тангенса половинного угла (обозначенного как t), то получается даже составить уравнение одной переменной, всего на один экран монитора, структуру которого уловить трудно.