Связь между гармоническим рядом и простыми

[sa233091]

Знаю, что дзета-функцию Римана можно по теореме Эйлера разложить в произведение.
А верно ли следующее соотношение ?

$$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n}}}{{\frac{{{p_1}}}{{{p_1} - 1}}\frac{{{p_2}}}{{{p_2} - 1}}...\frac{{{p_{\pi (n)}}}}{{{p_{\pi (n)}} - 1}}}} = 1$$$

[Brukvalub]

sa233091 в сообщении #1167263 писал(а):

А верно ли следующее соотношение ?

Почему бы вам самому (самой) не попытать счастья? Ведь главные члены асимптотик числителя и знаменателя - хорошо известны!

[sa233091]

Brukvalub в сообщении #1167273 писал(а):

Ведь главные члены асимптотик числителя и знаменателя - хорошо известны!

А какая асимптотика знаменателя?

[Brukvalub]

sa233091 в сообщении #1167283 писал(а):

А какая асимптотика знаменателя?

Попробуйте использовать асимтотический закон распределения простых.

[RIP]

Нет, предел равен $\mathrm{e}^{-\gamma}$, где $\gamma$ — постоянная Эйлера. Это теорема Мертенса:
https://en.wikipedia.org/wiki/Mertens%27_theorems