Помочь решить интеграл

[Vladelen1477]

Прошу помочь решить следующий интеграл:

$$\int\limits_{0}^{\infty}\dfrac{e^{-\alpha r^{2}}}{\sqrt{r^{2}+1}}dr,$$

где $\alpha=const>0, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ - полярные координаты.

WolframAlpha выдаёт следующее:

$$\int\limits_{0}^{\infty}\dfrac{e^{-\alpha r^{2}}}{\sqrt{r^{2}+1}}dr=e^{\frac{\alpha}{2}}K_{0}(\dfrac{\alpha}{2}),$$

где $K_{0}(\frac{\alpha}{2})$ - модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка(функция Макдональда).

Пробовал решать с помощью ТФКП:
Контур - верхняя полуокружность радиуса $R$ и отрезок $[-R,R]$.
Интеграл на полуокружности равен нулю, остаётся интегрировать по отрезку $[-R,R]$.
$z=i$ - полюс первого порядка. Тогда

$$\int\limits_{0}^{\infty}\dfrac{e^{-\alpha z^{2}}}{\sqrt{z^{2}+1}}dz=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{-\alpha z^{2}}}{\sqrt{z^{2}+1}}dz=2\pi i \text{Res}_{z=i}(\dfrac{e^{-\alpha z^{2}}}{\sqrt{z^{2}+1}})$$

$$\text{Res}_{z=i}(\dfrac{e^{-\alpha z^{2}}}{\sqrt{z^{2}+1}})= \dfrac{e^{\alpha}}{3}$$

Напрягает несоответствие ответов и мнимый результат в случае решения через ТФКП.

[Otta]

Vladelen1477 в сообщении #1166281 писал(а):

$$\dfrac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{-\alpha z^{2}}}{\sqrt{z^{2}+1}}dz=2\pi i \operatorname{Res}_{z=i}(\dfrac{e^{-\alpha z^{2}}}{\sqrt{z^{2}+1}})$$

Вот откуда бы?

[Vladelen1477]

Теорема о вычетах
Или я не прав?

[Otta]

У нее условия есть.

[Vladelen1477]

Аналитичность выполнена.
Особые точки не входят в контур.

Ещё есть условия?

[Otta]

Vladelen1477 в сообщении #1166296 писал(а):

Аналитичность выполнена.

Аналитичность где должна быть выполнена?

[Vladelen1477]

В замкнутой односвязной области

[Otta]

Пускай. И кто тут у нас замнут (и односвязен)? да еще и область?

[Vladelen1477]

Область значений подынтегральной функции.

Хорошо, теперь услышим правильный ответ.

[Brukvalub]

Vladelen1477 в сообщении #1166302 писал(а):

Хорошо, теперь услышим правильный ответ.

Напомните нам, вьюноша, жаждущий услышать правду,что такое точка ветвления, и как с ней бороться?

[Vladelen1477]

Точка, при обходе которой ф-ция меняет своё значение.
Выход: выбор контура.

[Brukvalub]

А нет ли внутри выбранного вами контура точек ветвления у подынтегральной функции?

[Vladelen1477]

Скорее всего $z=i.$

[Brukvalub]

Vladelen1477 в сообщении #1166315 писал(а):

Скорее всего $z=i.$

А, вдруг, это не она? Может, к гадалке сходить, или монетку кинуть?

[Vladelen1477]

Вам виднее.

Тема скатывется в холивар.
Не можете предложить что-то конкретное - прошу не писать.
В моём курсе ТФКП особых критических точек не было(МИФИ). Решал задачу в меру своих (доволнко скудных) знаний.