Интервал vs. квадрат интервала

[arseniiv]

Munin в сообщении #1165498 писал(а):

Но вообще, заметьте, интервал в вычислениях используется просто редко.

Так я только рад этому. На это и надеялся!

[Утундрий]

Почему вообще должен существовать интервал? Например, дифференциальная форма не обязана быть дифференциалом какой-либо функции. Вот и квадрат интервала есть нечто вроде такой формы: иногда сводится к интервалу, иногда не сводится.

[Geen]

Может быть попробовать идти от того, что на множестве событий у нас задано (частичное) упорядочивание "причина-следствие".... А (псевдо)метрика это лишь попытка "упростить" описание соответствующей структуры?...

[arseniiv]

Но так мы потеряем количественные данные. $g_{ij}x^iy^j$ всё-таки штука полезная.

[Утундрий]

Ну, число у нас есть всегда. Берём модуль квадрата, извлекаем из него корень, и дело с концом. Сия штуковина будет даже иметь вполне определённый смысл, если только снабдить ея дополнительной информацией о знаке квадрата интервала. Именно: знак плюс - время, минус - расстояние в сопутствующей СО, ну а нуль - он и в Африке нуль.

[Munin]

Я вот чего думаю. Есть всё-таки разные интегралы от дифформ по многообразиям. И там как элемент длины, и порождённые им элементы площади, объёма и 4-объёма - выступает именно $ds.$ А вот $d(s^2)$ вместо него выступать не может.

[arseniiv]

$d(\sqrt{|s^2|}) = \dfrac{\operatorname{sgn}s^2}{2\sqrt{|s^2|}}\,d(s^2)$. Ну, с нулём можно что-то делать или не делать.

UPD: Дописал забытый $d(s^2)$.

[Munin]

Ничё не понял, это к чему?

[arseniiv]

$ds$, выраженный через $s^2$ и $d(s^2)$.

[Утундрий]

Для этого надо сперва ввести $s^2$... Хотя, как мысль - понятно: $ds = \sqrt {ds^2 } $, откуда $\delta \left( {ds} \right) = \delta \left( {\sqrt {ds^2 } } \right) = \frac{1}{{2\sqrt {ds^2 } }}\delta \left( {ds^2 } \right) = ...$, что значительно упрощает вывод уравнения геодезической.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1165795 писал(а):

$ds$, выраженный через $s^2$ и $d(s^2)$.

Вот второго я у вас в упор не увидел.

[arseniiv]

Упс, потерялся. На него надо, разумеется, умножить.

[warlock66613]

При таком подходе формула $ds^2=dt^2-d\mathbf r ^2$ будет выглядеть настолько ужасно, что лучше даже и не пытаться её записывать.

[Munin]

arseniiv
Хорошо, и во что превращается у вас безобидный $-m\int ds$? По кривой, подчёркиваю.

[arseniiv]

По-моему, ничего страшного, особенно если физика не находит интересным интегрировать по кривой, на которой $ds$ то пространственно-, то времениподобен.

Кстати, моя формула выше, наверное, не та, и надо думать, что просто $ds = \sqrt{|ds^2|}$, и тогда я вообще ничего нового не сказал, потому что как вы ещё получите $ds$, имея только $g$ и касательный вектор $\mathbf u$ к кривой, кроме как $\sqrt{|g_{ij}u^iu^j|}$.

-- Пт ноя 04, 2016 19:48:54 --

А, стоп. Действительно, тут уже $ds^2$ и не $d(s^2)$. Ну так я, наверное, с самого начала говорил о $ds^2$, а не $s^2$.