Интервал vs. квадрат интервала

[arseniiv]

Этот вопрос насчёт объяснений лоренц-инвариантных теорий, в частности, на форуме.

Насколько полезно рассматривать кроме квадрата интервала (который я в одном месте видел названным просто интервалом, кстати) и сам интервал, если он вообще-то оказывается не очень-то определённым, когда квадрат отрицателен? Потом, чтобы получить из пространственноподобного интервала, скажем, расстояние, нужно взять его модуль — так не проще ли сразу рассматривать квадрат и брать корень его модуля тогда, когда нам нужны время или длина? Приносить комплексные числа, тем более не использующиеся ну никак — интервалы не складываются, не умножаются — по-моему, запутывающий шаг, оправдания которого мне (пока) неизвестны.

Задаю вопрос, потому что мне или надо будет отстраниться от объяснений, включающих интервалы, или увериться в том, что я могу себе позволить говорить больше о квадратах (правда, неудобно писать всё время «квадрат интервала», хотелось бы попроще), или успокоиться насчёт мнимых.

[Pphantom]

arseniiv в сообщении #1165118 писал(а):

если он вообще-то оказывается не очень-то определённым, когда квадрат отрицателен?

В смысле? Как-то не очень понятно, чем Вам случай $s^2 < 0$ не нравится...

[realeugene]

Pphantom в сообщении #1165131 писал(а):

Как-то не очень понятно, чем Вам случай $s^2 < 0$ не нравится...

А что такое $s$?

[arseniiv]

Pphantom в сообщении #1165131 писал(а):

В смысле? Как-то не очень понятно, чем Вам случай $s^2 < 0$ не нравится...

Я хотел ту часть переписать и забыл. Имеется в виду, что $ix$ ничем не лучше $-ix$.

-- Вт ноя 01, 2016 22:32:19 --

Конечно, ничто нам не мешает условиться мнимые интервалы считать равными только $ix,x>0$. Это вопрос того, где провести границу в добавлении условностей, которые должны упрощать рассмотрение, не ограничивая его общности. Пока мне кажется, что мнимые интервалы — это уже усложнение.

-- Вт ноя 01, 2016 22:32:35 --

Эх, наверное, я вообще плохо всё сформулировал.

[Pphantom]

arseniiv в сообщении #1165138 писал(а):

Конечно, ничто нам не мешает условиться мнимые интервалы считать равными только $ix,x>0$. Это вопрос того, где провести границу в добавлении условностей, которые должны упрощать рассмотрение, не ограничивая его общности. Пока мне кажется, что мнимые интервалы — это уже усложнение.

Да, в общем-то, оно и так вполне просто. Вас же не пугают слова, что между двумя моментами времени (в самой обычной классической механике) $t_1$ и $t_2$ проходит время $\tau = t_2 - t_1$, наверное, только особый пурист скажет, что это верно при $t_2 > t_1$.

[realeugene]

Интересно, как тогда правильно интегрировать интервал по замкнутому контуру, который местами времениподобный, а местами пространственноподобный? С каким знаком? И осмысленно ли это вообще?
Эх, не случайно в ЛЛ2 везде используется $\sqrt{-g}$. Мнимые объёмы тоже должны быть прелестными.

[arseniiv]

Pphantom
Ну, выше вообще-то никто не запрещает поставить модуль или, наоборот, считать промежуток времени знаковым. Только не понял, при чём это.

[Pphantom]

arseniiv в сообщении #1165156 писал(а):

Ну, выше вообще-то никто не запрещает поставить модуль или, наоборот, считать промежуток времени знаковым. Только не понял, при чём это.

Если я правильно понял то, что Вы хотели сказать, то это ровно такая же ситуация. Может вылезти лишний знак.

[arseniiv]

Я просто привёл плохой повод не быть довольным мнимыми интервалами. Понятно, что придётся как-то отличать пространственноподобные интервалы от времениподобных, если мы манипулируем только интервалами, чтобы сохранять информацию, и проще всего уложить их все вместе в $\mathbb C$ как наиболее распространённую подходящую вещь.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1165118 писал(а):

так не проще ли сразу рассматривать квадрат

Неинтуитивно.

На уровне формул, причём не для детей, а для специалистов, вы правы. Очень многое пишется для квадратов 4-векторов. Например, в физике элементарных частиц - очень многие зависимости и графики становятся "прямыми" и наглядными в терминах квадратов 4-импульсов. Для иллюстрации - траектория Редже - прямая линия на графике $M^2\text{--}J,$ где $M$ - масса (например, мезона), а $J$ - спин.

[Mentat]

Важно также помнить про традицию определения метрики. Насколько я понимаю, изначально так выбрали из этих соображений.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1165275 писал(а):

Неинтуитивно.

Ну так можно с интуитивностью разобраться в первом абзаце(?), а дальше поехать с неделимым обозначением $s^2$. В том и вопрос, насколько можно сделать по-другому.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1165467 писал(а):

Ну так можно с интуитивностью разобраться в первом абзаце(?)

Ну что вы. Наработать новую хорошую интуицию - это годы.

[arseniiv]

Мы опять понимаем разное под одними и теми же словами. Я предлагал что-то типа: ага, смотрите, интервал. Вот в таком случае он похож на метрику, смотрите. А вот тут у него нули между разными событиями. А вот тут у него вообще квадрат отрицательный. Так что если мы будем рисовать из интервала метрику, видите, мы не сможем сформулировать неравенство треугольника. Зато если взять модуль, он опять похож на метрику. Так что давайте рассматривать квадрат и брать от него корень модуля, когда нам надо etc. etc..

-- Ср ноя 02, 2016 21:42:13 --

Ну, примеров нарисовать ещё.

[Munin]

Это пожалуйста.

Но вообще, заметьте, интервал в вычислениях используется просто редко.