Вопросы! числовые последовательности, комбинаторика

[SuperIntegral!]

Здравствуйте, форумчане!

Есть несколько вопросов:

1) Есть какая либо информация на русском о т.н Инфинитарной комбинаторике (из вики)

Цитата:

Инфинитарная комбинаторика (англ.) — применение идей и методов комбинаторики к бесконечным (в том числе, несчётным) множествам.

2) Интересует задачка - есть цикл, пробегает от $0$ до $10$, например, нам нужно получить все четные числа в указанном диапазоне, естественно, мы внутрь цикла положим это:

$a(n) = 2n $

А как получить опять же все четные числа в указанном диапазоне, но, допустим без $2$ изменяя только саму формулу(!), если в первом случае наша ответ будет таков:

$0, 2, 4, 6, 8$

Во 2 случае уже, очевидно, таков:

$0, 4, 6, 8$

Более общий вопрос таков, как по нескольким первым членам последовательности построить общую формулу этой последовательности, некую аналитическую формулу (как в литературе именуются такие формулы? это не рекуррентная формула, зависимости от предыдущего члена тут нет, подставляем положительные целые числа и в ответ получаем четные). Предположим, нам удалось построить формулу получения всех четных чисел, кроме $ 2$, но как доказать, что эта формула дала нам все четные числа, кроме $2$ ? Может есть какая-нибудь литература, возможно, в области перечислительной комбинаторики..

Заранее благодарю за овтеты!

[svv]

SuperIntegral! в сообщении #1162086 писал(а):

как по нескольким первым членам последовательности построить общую формулу этой последовательности

Допустим, Вы умеете это делать.
Я даю первые члены своей последовательности: $0,2,3,4,5,6,7$ и прошу Вас построить общую формулу. Вы строите. Я говорю: а давайте проверим? Проверяем, Ваша формула выдаёт:
$0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...$
Я говорю: а вот и нет! $11$ тоже надо было пропустить!
Что думаете по этому поводу?

[SuperIntegral!]

Критерий-то у нас задан - получить четные но без $2$, продолжить после первых членов можно как угодно, но мы же знаем что хотим получить.Возможно, после какой-нибудь тысячной итерации вылезет то, что нам не нужно, именно поэтому

Цитата:

но как доказать, что эта формула дала нам все четные числа, кроме $2$ ?

[svv]

SuperIntegral! в сообщении #1162093 писал(а):

мы же знаем что хотим получить

Если закон задан, зачем первые несколько членов? Вы же написали, что по ним надо построить формулу, а не по известной закономерности. Вот:

SuperIntegral! в сообщении #1162086 писал(а):

Более общий вопрос таков, как по нескольким первым членам последовательности построить общую формулу этой последовательности

[SuperIntegral!]

Да, наверно, первые действительно не нужны (Хотя, допустим, я получил,некую последовательность чисел, я пока не могу показать какой вид у этих чисел,(пример Числа Мерсена - $2^p - 1$ ) но мне интересно можно ли продолжить эту последовательность каким угодно образом), хотя интересно было бы узнать есть ли некие факторы, позволяющие сказать, что эту последовательность можно продолжить не как угодно а только одним способом..

[svv]

Ещё вопрос — какие операции допустимо использовать в аналитических формулах? Модуль, например, можно? Интегралы, пределы, бесконечные суммы?

[SuperIntegral!]

Модуль нельзя, в программе будет либо проверка, либо некая функция, возвращающая значение , а этого очень не хотелось бы..

Пример про те самые четные:

$a(n) = 2n $

Просто и понятно, можно ли так для -

Цитата:

все четные числа в указанном диапазоне, но, допустим без $2$

[svv]

SuperIntegral! в сообщении #1162100 писал(а):

Модуль нельзя, в программе будет либо проверка, либо некая функция, возвращающая значение , а этого очень не хотелось бы..

Допустимы только 4 арифметических действия и константы?

[SuperIntegral!]

Факториал можно, кстати интересно дает ли это:

$$a(n) = 2 * \sum\limits_{0}^{n} \frac{1^n}{n!}$$

такой же результат как и это

$a(n) = 2n $

Интересно можно ли получить какой-либо результат применяя только, как вы сказали, 4 арифметических действия и константы

[svv]

В этой формуле две странности.
1) Непонятно, зачем единица возводится в степень $n$, ведь $1=1^0=1^1=1^2=...$
2) В таком виде, как сумма записана, она содержит $n+1$ одинаковых слагаемых. Возможно, имелось в виду
$a(n) = 2 \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}$
Но и в этом случае ответ — «конечно, нет». Например, при $n=3$
$2\sum\limits_{k=0}^{3} \dfrac{1}{k!}=2\left(\dfrac 1{0!}+\dfrac 1{1!}+\dfrac 1{2!}+\dfrac 1{3!}\right)=\dfrac{16}3$

[SuperIntegral!]

Точно, совершенно забыл про один элементик,извиняюсь, вот так в итоге:

$$a(n) = 2 n! \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$$

[arseniiv]

Ну так пишете первые члены и проверяете, кто мешает?
$\begin{array}{l} 2\cdot0!\cdot1 = 2, \\ 2\cdot1!(1 + 1) = 4, \\ 2\cdot2!(1 + 1 + \frac12) = 10. \end{array}$

[SuperIntegral!]

Да, это так, отвлеченный вопрос, основной вопрос про построение аналитических формул по закону (в частности та формула четных без двойки), ну и про комбинаторику

[arseniiv]

Ну вы же не определились до сих пор, что такое точно аналитическая формула и закон. Общим ответом будет только «it depends». Может не быть возможности или, наоборот, может быть куча подходящих формул, ни одна из которых не более естественна, чем другая.

-- Вс окт 23, 2016 21:42:44 --

И вообще тут явным образом маячит призрак проблемы XY. Зачем вам формула для чисел без двойки, если при её появлении можно просто пропустить итерацию цикла?

-- Вс окт 23, 2016 21:44:56 --

(Или, например, вам нужна формула, вычисление по которой будет быстрее, чем проверка в каждой итерации, пропускать её или нет. Тогда (1) это уже вопрос не математики, а конкретной архитектуры процессора и профилирования и (2) в данном случае можно просто сгенерировать «неоднородное» начало последовательности, а дальше циклом.) Короче, или вы договариваете, или не ждёте точных ответов.

[SuperIntegral!]

Цитата:

Зачем вам формула для чисел без двойки, если при её появлении можно просто пропустить итерацию цикла?

Можно, но это уже вопрос больше вопрос программирования. Формула без двойки, пример, как вообще "делать" такие формулы.Впоследствии, можно уже подумать над формулами чисел, например простых Мерсенна!

Цитата:

Ну вы же не определились до сих пор, что такое точно аналитическая формула и закон

закон это - все четные числа без двойки, аналитическая формула - это некое математическое выражение, дающее нам все четные числа без двойки.