Вращение диска и колебания

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Уважаемые, помогите с задачкой. Тело массой $ m $ колеблется на пружине по закону $x=A \cos \omega t$. С момента времени $t_0$ на него начинает действовать постоянная сила $F$, направленная вдоль пружины противоположно направлению оси $X$.
1. Определить амплитуду колебаний $A$ относительно нового положения равновесия.
2. В какой момент времени надо приложить силу, чтобы амплитуда была наибольшей? наименьшей?

Могу ли я так записать из ЗСЭ: $\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2}=E_0 +\frac{kx_0^2}{2}\cdot \chi (t-t_0)$ , где: $\chi (t-t_0)$ - функция Хэвисайда-скачок в т. $t_0$ и полная энергия системы: $E_0=\frac{kA^2}{2}$ , определяемая из условий задачи, т.к. амплитуда $=A$?
Тогда при $v=0$ новая амплитуда колебаний: $A'=\sqrt{A^2+x_0^2}$ относительно нового положения равновесия в т. $x_0$? Только здесь нигде не фигурирует время $t_0$. Хотелось бы из полученной формулы получить ответ на 2-й вопрос. Подскажите пожалуйста как решать задачу?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1161576 писал(а):

Могу ли я так записать из ЗСЭ: $\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2}=E_0 +\frac{kx_0^2}{2}\cdot \chi (t-t_0)$ , где: $\chi (t-t_0)$ - функция Хэвисайда-скачок в т. $t_0$ и полная энергия системы: $E_0=\frac{kA^2}{2}$ , определяемая из условий задачи, т.к. амплитуда $=A$?

Мне не очень понятен смысл этого уравнения.

Начните лучше с уравнения движения

$$\ddot{x}+\omega^2x=-F/m.$$

Ищем решение в виде $x=x_0+x_1(t)$, где $x_0$ - новое положение равновесия. Дальше можно заметить, что $x_1=B\cos(\omega t+\varphi)$, и амплитуда $B$ довольно просто связана с начальными условиями (определяемыми как раз моментом $t_0$).

P.S. Куда делось "вращение диска" (или зачем оно было упомянуто в заголовке) - загадка.

[Stensen]

DimaM в сообщении #1161583 писал(а):

P.S. Куда делось "вращение диска" (или зачем оно было упомянуто в заголовке) - загадка.

Виноват. Когда оформлял вопрос к задаче по колеблющемуся диску попутно решил её, но заголовок забыл поменять.

DimaM в сообщении #1161583 писал(а):

Stensen в сообщении #1161576 писал(а):

из ЗСЭ: $\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2}=E_0 +\frac{kx_0^2}{2}\cdot \chi (t-t_0)$

Мне не очень понятен смысл этого уравнения.

Да хотел учесть в одном уравнении действие (скачок) силы $F$ в момент $t_0$, но по Вашему совету буду решать через н.у. к дифуре.

DimaM в сообщении #1161583 писал(а):

Из уравнения движения: $ \ddot{x}+\omega^2x=-F/m $ ищем решение в виде $x=x_0+B\cos(\omega t+\varphi)$, где $x_0$ - новое положение равновесия.

Имеем:
$ (1) \qquad \ddot{x}+\omega^2x=F/m $
$ (2) \qquad x=x_0+B\cos(\omega t+\varphi)$, где: $x_0=\frac{F}{m\omega^2}$

при н.у. до действия силы: $x(t_0)=A\cos(\omega t_0),\, v(t_0)=-\omega A \sin(\omega t_0)$ , найдем из (2):

$ (3) \qquad \dot{x} = v=-\omega B \sin(\omega t+\varphi) $ и приравняем н.у. после начала действия силы:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t_0)=B \cos (\omega t_0 +\varphi)+\frac{F}{m\omega^2} \\ v(t_0)=-\omega B \sin (\omega t_0 +\varphi) \\ \end{array} \right.$, откуда:

$B=\sqrt{\frac{v^2(t_0)}{\omega^2}+\frac{[m \omega^2 x^2(t_0)-F]^2}{m^2\omega^4}} = \sqrt{A^2+\frac{F^2}{m^2 \omega^4}-\frac{2AF}{m \omega^2}\cos (\omega t_0)} $, отсюда очевидно: при $\cos (\omega t_0)= -1 \Rightarrow B \to \max\limits_{} $ и при $\cos (\omega t_0)= +1 \Rightarrow B \to \min\limits_{} $. Даже с ответом сошлось. Спасибо за совет.

[svv]

Красиво и наглядно получится, если изобразить ситуацию на фазовой плоскости. Выберем масштаб осей так, чтобы фазовые траектории были окружностями. Например, будем откладывать по оси абсцисс $\sqrt {\frac k 2}x$, а по оси ординат $\sqrt{\frac m 2} v$. Траектории до включения силы изображены голубым, а после — розовым. Так как координата и скорость непрерывны, точка, изображающая состояние системы, в соответствующий момент просто начинает двигаться по розовой окружности вместо голубой. На картинке синим показана конкретная траектория, от которой ответвляются две красные траектории, что соответствует включению силы в два разных момента. В одном случае амплитуда после включения силы уменьшается, в другом увеличивается.

[Stensen]

Спасибо, действительно наглядно.