Простейший поток событий?

[Fohseles]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане.

Имеется задача:

Вероятность того, что в течении гарантийного срока (2 года) конденсатор, устанавливаемый на системной плате, выйдет из строя, равна 0.05. Найти вероятность того, что за 5 лет:

а) конденсатор выйдет из строя не менее 2 раз;

б) хотя бы один из двух конденсаторов не выйдет из строя.

Вроде бы необходимо использовать формулу Пуассона. Но нам задана вероятность в течении гарантийного срока (2 года), а вычислить вероятности нужно в течении другого срока (5 лет). Вот в этом моменте и вся загвоздка, не знаю как эти числа привязать к задаче.

Мои мысли:

Есть предположение, что необходимо использовать простейший поток событий.

Для простейшего потока вероятность появления $m$ событий за время $t$ равна:

$$p_{m}(t) = \frac{(\lambda t)^{m} \cdot e^{-\lambda t}}{m!}$$

За единицу времени выберем 2 года. По условию,

$$p_{1}(1) = 0.05$$

откуда

$$ \lambda \cdot e^{-\lambda} = 0.05$$

Но последнее уравнение, если я правильно понимаю, аналитически не решается, да и корня у него два.

Может я что-то делаю не так?

[svv]

Эту задачу невозможно решить без задания функции, называемой интенсивность отказов $f(t)$, где $t$ — время эксплуатации.

Например, представьте, что установленный новенький конденсатор действительно с вероятностью $0.05$ выйдет из строя за первые два года работы. Условия задачи выполнены. Но по истечении ровно трёх лет в любом конденсаторе, «дожившем» до этого момента, срабатывает механизм саморазрушения (да-да, дети работников фирмы-производителя хотят кушать и просят Вас купить новый конденсатор). Какой будет тогда ответ на вопрос б) ?

[Fohseles]

svv
А если абстрагироваться от контекста и принять, что конденсатор может работать вечно?

[svv]

Я всего лишь привёл крайний пример. Вот не столь радикальный: допустим, после трёх лет работы конденсаторы начинают «вовсю лететь», то есть выходить из строя с большой интенсивностью, и доживший до пяти лет — большая редкость. Естественно, это тоже сильно повлияет на ответ задачи.

Я к чему: сделайте оговорку «примем, что интенсивность отказов постоянна, коль в условиях на этот счёт ничего не сказано», и решайте на здоровье.

[Fohseles]

svv
Спасибо за замечание! Не могли бы вы в общих чертать подсказать с чего начать и куда копать (при условии, что интенсивность отказов постоянна)?

[svv]

Тогда это означает «отсутствие памяти» у конденсатора (вероятность отказа любого исправного конденсатора за время $T$ равна вероятности отказа нового исправного конденсатора за время $T$). См. экспоненциальное распределение.

[Fohseles]

svv
Пусть интенсивность отказов $\lambda(t)$ постоянна, тоесть $\lambda(t) = Const$ или $\lambda= Const$, а как выбрать это самое $\lambda$?

[svv]

Из условия, что вероятность отказа исправного конденсатора за два следующих года равна $0.05$.

[Fohseles]

svv
Если я правильно понял идею, то после определния $\lambda$ можно будет воспользоваться формулой:

$$p_{m}(t) = \frac{(\lambda t)^{m} \cdot e^{-\lambda t}}{m!}$$

Но как найти лямбду я все равно не понял.

-- 17.10.2016, 20:19 --

Вероятность безотказной работы на интервале времени от нуля до $x$, соответствующей событию "появление отказа после $t=x$":

$P(X>x) = e^{- \lambda t}$$

Вероятность того, что в течении 2 лет конденсатор выйдет из строя - $q=0.05$, тогда вероятность безотказной работы конденсатора в течении двух лет $p=0.95$. Получим: $e^{- 2\lambda} = 0.95$$ откуда

$$\lambda = 2 \ln \frac{20}{19}$$

.

-- 17.10.2016, 20:29 --

И тогда, вероятность того, что за 5 лет конденсатор выйдет из строя не менее 2 раз:

$$P_{\geqslant 2}(5/2) = 1 - P_{< 2}(2.5) = 1 - P_{0}(2.5) - P_{1}(2.5)$$

Вероятность того, что за 5 лет ровно один конденсатор не выйдет из строя:

$$P_{1}(5/2) = P_{1}(2.5)$$

Тогда вероятность того, что за 5 лет хотя бы один из двух конденсаторов не выйдет из строя:

$$ 1 - (1-P_{1}(2.5)) \cdot (1-P_{1}(2.5))$$

Так ли?

PS. Здесь везде

$$p_{m}(t) = \frac{(\lambda t)^{m} \cdot e^{-\lambda t}}{m!}$$

и

$$\lambda = 2 \ln \frac{20}{19}$$

.

[svv]

Fohseles в сообщении #1160596 писал(а):

Вероятность безотказной работы на интервале времени от нуля до $x$, соответствующей событию "появление отказа после $t=x$":
$P(X>x) = e^{- \lambda t}$

Вот тут как-то буквы беспорядочно пляшут...
Должно быть две буковки. Обе обозначают продолжительность работы с момента установки до момента отказа. Но одна буковка обозначает случайную величину, а вторая — некоторое возможное её значение.
И, пожалуйста, продумайте, какой знак там должен быть в неравенстве.

-- Пн окт 17, 2016 21:23:21 --
$\mathsf P\{T<t\}=1-e^{-\lambda t}$
$\mathsf P\{T>t\}=e^{-\lambda t}$
Вероятность того, что срок службы $T$ (случайная величина) примет значение больше $t$ (конкретное значение), равна $e^{-\lambda t}$.

[Fohseles]

svv
Я совсем запутался.

Попробую по-другому:

Функция распределения с.в. $X$, распределенной по экспоненциальному закону, имеет вид: $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ при $x \geqslant 0$, и ноль иначе.

Вероятность того, что с.в. $X$ примет значение из интервала $(a;b)$: $P\{a<X<b\} = F(a) - F(b)$.

По условию, вероятность отказа конденсатора в течении двух лет равна 0.05, тогда вероятность безотказной работы конденсатора в течении двух лет будет $0.95$.

Таким образом

$$P\{0<X<2\} = F(2) - F(0) = 1 - e^{-2\lambda} - (1 - e^{0}) = 1 - e^{-2\lambda}$$

По условию, $P\{0<X<2\} = 0.95$, откуда $1 - e^{-2\lambda} = 0.95$ и $\lambda = \frac{\ln(20)}{2}$

Пока верно?

-- 17.10.2016, 21:32 --

Эх, что-то я совсем запутался. Ладно, будем считать, что эта задача меня победила.

svv
Благодарю Вас за время и желание помочь!

[svv]

Нет, раньше лучше было.
Если $X$ — это продолжительность безотказной работы, тогда $P\{0<X<2\} = 0.05$, а не $0.95$. Отсюда действительно $e^{- 2\lambda} = 0.95$.
Но в предыдущем варианте была другая ошибка: Вы отсюда сделали вывод, что $\lambda = 2 \ln \frac{20}{19}$, а на самом деле $\lambda = \frac 1 2 \ln \frac{20}{19}$

[Fohseles]

svv
Попытаюсь все привести к одним типам букв:

Пусть с.в. $T$ — это продолжительность безотказной работы, тогда вероятность события $P \{0 < T < 2 \} = F(2) - F(0) = 1 - e^{-2\lambda} - (1 - e^{0}) = 1 - e^{-2\lambda}$.

Тогда получим:

$$P\{0<T<2\} = 0.05$$

или

$$1 - e^{-2\lambda} = 0.05$$

откуда

$$\lambda = \frac{1}{2} \ln \frac{20}{19}$$

.

Так?

А вот дальше я окончательно запутался.

[svv]

Вы не волнуйтесь, пожалуйста. Мы никуда не спешим и во всём разберёмся. Разве что если сегодня устали, можно перенести на завтра.

Смотрите, $P \{0 < T < 2 \}$ — это вероятность того, что отказ произойдёт в первые два года. Вот, видите, как в неравенстве $T$ (продолжительность работы до отказа) зажато между $0$ и $2$?
Но это и есть по условию $0.05$, а не $0.95$
С другой стороны, $P \{0 < T < t \}=1-e^{-\lambda t}$ (проверяем: чем больше $t$, тем больше вероятность, что отказ произойдёт до этого момента).

Значит,
$1-e^{-\lambda\cdot 2}=0.05$
$e^{-\lambda\cdot 2}=0.95$
И так далее.

Вы сегодня лучше всего просто внимательно прочитайте эти пояснения.

-- Пн окт 17, 2016 22:00:51 --

Upd: теперь правильно.

[Fohseles]

svv
У Вас железные нервы

Хорошо, лямбду с горем пополам нашли.

Далее нужно найти вероятность того, что за 5 лет конденсатор выйдет из строя не менее 2 раз.

Искомая вероятность будет

$$1 - P_{0}(5)- P_{1}(5)$$

, где

$$p_{m}(t) = \frac{(\lambda t)^{m} \cdot e^{-\lambda t}}{m!}$$

и лямбда, которую нашли выше.

Я не прав?