Разбиение отрезка [0; 1]

[vladb314]

Задача. Можно ли построить два таких множества $A$ и $B$, что:

1) $A \cup B = [0;1], \; A \cap B = \varnothing$;
2) $A$ и $B$ измеримы по Лебегу, причём $\mu A >0$, $\mu B >0$;
3) $A$ и $B$ плотны на $[0;1]$:

$$ \forall x,y \in [0;1] \; x < y \Rightarrow (\exists a \in A \; x < a < y), $$


$$ \forall x,y \in [0;1] \; x < y \Rightarrow (\exists b \in B \; x < b < y); $$

4)

Попытки решения.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.