Нигде не плотное подмножество R без соседних точек

[user14284]

Существует ли нигде не плотное подмножество $\mathbb R$ без соседних точек? Соседние это такие, между которыми нет других точек.

Пытаюсь построить контрпример. Канторово множество не годится, но что если при его построении удалять замкнутые интервалы вместо открытых. Такое множество будет непустое, нигде не плотно и я не вижу соседних точек. Так?

[demolishka]

Если нет ограничений на мощность множества, то ответ очевиден

-- 16.10.2016, 15:08 --

user14284 в сообщении #1160247 писал(а):

Пытаюсь построить контрпример.

Контрпример к чему? К существованию?

[user14284]

demolishka в сообщении #1160250 писал(а):

Контрпример к чему? К существованию?

К несуществованию.

demolishka в сообщении #1160250 писал(а):

то ответ очевиден

Мне не очевидно. Тривиальные случае с менее чем двумя точками не рассматриваем.

[Anton_Peplov]

demolishka в сообщении #1160250 писал(а):

Если нет ограничений на мощность множества, то ответ очевиден

Пустое множество. В зависимости от договоренностей - множество из одной точки. Это неспортивно.

-- 16.10.2016, 14:51 --

user14284 в сообщении #1160247 писал(а):

Канторово множество не годится

Почему?

[user14284]

Anton_Peplov в сообщении #1160258 писал(а):

user14284 в сообщении #1160247 писал(а):

Канторово множество не годится

Почему?

Концы первого выброшенного интевала соседние.

[mihailm]

а можно пример соседних точек?

[user14284]

mihailm в сообщении #1160261 писал(а):

а можно пример соседних точек?

См. предыдущее сообщение. $1/3$ и $2/3$ лежат в канторовом множестве и между ними нет других точек из канторового множества.

[Mikhail_K]

user14284 в сообщении #1160260 писал(а):

Концы первого выброшенного интевала соседние.

Ключевое слово здесь - интервала.

[user14284]

Извините, я совсем намёков не понимаю. Спрошу прямо:
1. Заданный мой вопрос ясно сформулирован? Если нет, укажите прямо, пожалуйста, что не так -- и я уточню.
2. Если при построении канторового множества выкидывать не открытые интервалы, а замкнутые (тобишь отрезки), то я получу искомый пример? В обычном кантором множестве, как я проедставляю, но не могу доказать, соседними точками являются только концы выброшенных открытых интервалов. Соответственно, я хочу их тоже выкинуть. Что не так тут? Укажите прямо пожалуйста.

Гугл не помог.

(Оффтоп)

Оказывается, упорядоченные множества без соседних элементов тоже называются плотными. То есть мой вопрос, как бы парадоксально он ни звучал, таков: существует ли плотное линейно упорядоченное подмножество $\mathbb R$, которое является нигде не плотным подножеством $\mathbb R$. Первое "плотно" в смысле порядка, второе -- в смысле топологии.

[Anton_Peplov]

ТС прав, это я подзабыл, что такое канторово множество. В нем бесконечное множество пар соседних точек: $\dfrac{1}{3}$ и $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{1}{9}$ и $\dfrac{2}{9}$...

-- 16.10.2016, 16:20 --

Собственно, а зачем мы начали с отрезка и стали выкидывать из него куски? Не проще ли начать с точек и добавлять точки между ними? Предлагаю такое построение:
1) $0, 1 \in A$
2) $\forall a, b \in A\ \ \dfrac{|a-b|}{2} \in A$.
3) Других точек в $A$ нет.
Годится?

[Red_Herring]

Когда мы строим канторов континуум, мы выбрасываем интервалы, чтобы к.к. был замкнутым множеством. Но мы можем выбрасывать сегменты.

С другой стороны, если мы хотим несвязное замкнутое множество $M$ на прямой, то его дополнение будет содержать максимальный интервал, и его концы будут соседними точками $M$.

[user14284]

Anton_Peplov в сообщении #1160281 писал(а):

Собственно, а зачем мы начали с отрезка и стали выкидывать из него куски? Не проще ли начать с точек и добавлять точки между ними? Предлагаю такое построение:
1) $0, 1 \in A$
2) $\forall a, b \in A\ \ \dfrac{|a-b|}{2} \in A$.
3) Других точек в $A$ нет.
Годится?

Разве оно не плотно в $[0,1]$? Мы же любое число там можем приблизить как угодно хорошо.

Red_Herring в сообщении #1160284 писал(а):

Когда мы строим канторов континуум, мы выбрасываем интервалы, чтобы к.к. был замкнутым множеством. Но мы можем выбрасывать сегменты.

Это я и сделал в первом сообщении. Вопрос в том, удовлетворяет ли оно заданным условиям.

[Anton_Peplov]

user14284 в сообщении #1160288 писал(а):

Разве оно не плотно в $[0,1]$? Мы же любое число там можем приблизить как угодно хорошо.

Это с чего бы? Первый шаг - в множество включаются $0$ и $1$. Второй шаг - включается $\dfrac{1}{2}$ как середина отрезка между $0$ и $1$. Третий шаг - включаются $\dfrac{1}{4}$ и $\dfrac{3}{4}$. И так далее. Любая дробь из $A$ рациональна, и ее знаменатель будет целой степенью числа $2$.

[arseniiv]

А потом построим последовательность из чисел, двоичные записи которой — всё более длинные префиксы двоичной записи $a\in[0;1]$, сходящуюся, разумеется, к $a$ же, ну а все элементы будут из этого множества.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1160292 писал(а):

Это с чего бы?

С того, что Вам стоит вспомнить определение плотности и нигде-не-плотности.

user14284 в сообщении #1160288 писал(а):

Мы же любое число там можем приблизить как угодно хорошо.

И это правда. "Любое число можем приблизить элементами $A$" не значит "любое число лежит в $A$".