Нигде не плотное подмножество R без соседних точек

[user14284]

Попробую другой пример к исходной задаче построить. Будем строить последовательность так. На первом шаге это будут $0$ и $1$. На $n$-м шаге добавим к каждой уже имеющейся точке ещё одну слева на расстоянии $1/2^n$. Годится?

P.S. Меня не столько волнует реальный пример, сколько сам факт его существования.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1160294 писал(а):

С того, что Вам стоит вспомнить определение плотности и нигде-не-плотности.

Определения помню, спасибо. Множество называется всюду плотным в $[0, 1]$, если его замыкание равно $[0, 1]$. Множество называется нигде не плотным, если внутренность его замыкания пуста.
До настоящего момента был свято уверен, что все сходящиеся последовательности элементов $A$ сходятся к элементам $A$, ввиду чего множество замкнуто и удовлетворяет условиям задачи. Хм. Попробую построить последовательность, сходящуюся к $\dfrac{1}{5}$.

[grizzly]

user14284 в сообщении #1160298 писал(а):

P.S. Меня не столько волнует реальный пример, сколько сам факт его существования.

Его не существует. Вам уже объяснили это выше.
UPD.

[Slav-27]

Почему не существует? -- если замкнутости не надо, то пример из 1-го поста годится.

[Someone]

user14284 в сообщении #1160247 писал(а):

Существует ли нигде не плотное подмножество $\mathbb R$ без соседних точек? Соседние это такие, между которыми нет других точек.

Пытаюсь построить контрпример. Канторово множество не годится, но что если при его построении удалять замкнутые интервалы вместо открытых. Такое множество будет непустое, нигде не плотно и я не вижу соседних точек. Так?

Так.

Если хотите, можно построить счётное множество с такими же свойствами.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1160300 писал(а):

Попробую построить последовательность, сходящуюся к $\dfrac{1}{5}$.

Подсказка: запишите $\frac{1}{5}$ в двоичной системе счисления.

[user14284]

Someone в сообщении #1160325 писал(а):

Так.

Спасибо!

Someone в сообщении #1160325 писал(а):

Если хотите, можно построить счётное множество с такими же свойствами.

Хочу.

[Someone]

Ну так в том множестве, которое Вы сразу указали, постройте счётное всюду плотное подмножество (всюду плотное не на отрезке $[0,1]$, а в том самом множестве, которое Вы построили).

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1160326 писал(а):

Подсказка: запишите $\frac{1}{5}$ в двоичной системе счисления.

Сглупил. Моя вина. Приношу извинения, что влез в эту тему, но не сказал в ней ничего дельного.

[ewert]

Эффектнее было бы выкидывать из канторова множества только левые концы интервалов. Тогда оставшееся взаимно-однозначно и с сохранением порядка отображалось бы на просто множество всех вообще двоичных дробей, с которым всё ясно.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1160300 писал(а):

Определения помню, спасибо. Множество называется всюду плотным в $[0, 1]$, если его замыкание равно $[0, 1]$. Множество называется нигде не плотным, если внутренность его замыкания пуста.
До настоящего момента был свято уверен, что все сходящиеся последовательности элементов $A$ сходятся к элементам $A$

Мне кажется, типичный случай, когда строгое определение известно, но нет никакого соответствующего ему интуитивного образа. А это в математике не менее важно.
Лично я представляю себе плотность так. Множество $M$ плотно в множестве $N$, если при вычерчивании множества $M$ сколь угодно тонкой ручкой (фломастером, карандашом...) зарисовывается всё множество $N$ целиком.
Более строгая формулировка: $M$ плотно в $N$, если $\forall r>0$, $N\subset\bigcup\limits_{x\in M}O_r(x)$.
(Оба множества $M$ и $N$ лежат в некотором метрическом пространстве $X$; $O_r(x)$ - окрестность точки $x$ радиуса $r$ в этом пространстве; если $N=X$, то вместо плотности можно говорить про всюду-плотность.)
То есть, когда мы вычерчиваем ручкой множество $M$, вместо каждой его точки $x$ мы отмечаем некоторую её окрестность $O_r(x)$ - потому что ручка конечной толщины. И вот, если после такого вычерчивания сколь угодно тонкой ручкой (со сколь угодно малым $r$) множество $N$ обязательно оказывается полностью зарисованным, то $M$ плотно в $N$.
Нетрудно показать эквивалентность такого определения классическому $N\subset\overline M$.

Теперь понятно, что даже если мы будем очень тонкой ручкой (но имеющей ненулевую толщину!) отмечать все точки $1/2$, $1/4$, $3/4$, $1/8$, $3/8$, $5/8$, $7/8$... - то очень скоро весь отрезок окажется полностью зарисован.

Ещё одно эквивалентное определение плотности - нет ни одной окрестности ни одной точки $N$, не содержащей точек из $M$. И здесь тоже ясно: никакая окрестность, никакой конечный интервал на $[0,1]$ не будет свободен от точек множества $A$.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1160377 писал(а):

Ещё одно эквивалентное определение плотности - нет ни одной окрестности ни одной точки $N$, не содержащей точек из $M$.

Это определение (и соответствующий ему образ) в моей голове тоже есть. Но относительно предложенного множества он почему-то не сработал. Черт его знает, почему. Давайте на этом завершим занятия прикладной педагогикой.