Гамильтонова механика, дифференциальная геометрия и т.д.

[timber]

Нам читают курс по качественным методам гамильтоновой механики (Qualitative methods of Hamiltonian mechanics). Пытаюсь осознать что к чему и зачем. Хотелось бы разобраться с теорией, её современным состоянием и приложениями, как-то осознать и систематизировать информацию по проблематике гамильтоновых систем.
Исторически, основная проблема, как понимаю, хотя могу и ошибаться -- это решение гамильтоновой системы (ГС), т.е. системы ОДУ первого порядка, которое упирается в вопрос интегрируемости системы. Верно? Многие гамильтоновы системы не имеют аналитического решения, поэтому применяют качественные методы, среди которых геометрические (интересно какие еще распространены?) -- поиск топологических инвариантов, построение фазовых траекторий (портретов). Основной аппарат исследований ГС базируется на разделе дифференциальной геометрии -- симлектической геометрии, а точнее на изучении симплектических многообразий (почему именно так?). Там еще применяются какие-то хитрые действия, которые переводят векторные поля в алгебру Ли.
Всё это имеет приложение в теории оптимального управления реальными объектами -- ракетами, самолетами, поездами, квантовыми системами, ... (интересно, как это все стыкуется с качественными методами ГС, в чем суть и где еще применяется?). Вроде бы это можно применить к управлению любыми небесными (космическими) телами и их скоплениями -- астероиды, планеты, солнечные системы, галактики ... Может быть что-то и нафантазировал.
В общем, сейчас у меня какие-то пазлы в голове, которые хотелось бы собрать в одну красивую конструкцию.
Помогите, пожалуйста.

[Munin]

Я так понимаю, теория оптимального управления - занимается динамическими системами в широком смысле. То есть, СОДУ (все они приводятся к 1 порядку). Гамильтоновыми из них являются далеко не все. Гамильтоновость - очень сильное условие. Например, система для этого должна быть чётномерной, а фазовый поток - сохраняться. Но этих условий ещё далеко не достаточно.

Симплектическая геометрия - это "по-физически" и есть геометрия фазового пространства. А если фазовое пространство - какое-то многообразие, то получается симплектическое многообразие.

[timber]

Большое спасибо за отклик.
Можно как-то с азов "арифметики"?
Гамильтонова механика, как себе представляю, это разные виды движений разнообразных объектов в фиксированном (строго заданном) пространстве, которое называется фазовым?
Правильно понимаю, что гамильтонова система -- это обобщенный термин, который включает в себя любые системы уравнений движения, которые выражаются через гамильтониан -- оператор, который действует на фазовом пространстве? Для разных механический систем -- гамильтонова система может быть записана разными уравнениями, так?
Проблема в том, что если даже можно (всегда?) записать систему (в виде тождества), то далеко не всегда можно найти решения. Правильно? И поэтому был разработаны, и до сих пор разрабатываются качественные методы? То есть аналитическая ветвь оказалась тупиковой? Как понимаю из-за того, что проинтегрировать фазовое пространство не так уж и просто. Почему все-таки пришли к качественным методам и что они в себя включают? У меня сложилось впечатление, что это нагромаждение хитрых трюков из разных разделов математики. Или не так?

[dsge]

Munin в сообщении #1159906 писал(а):

Я так понимаю, теория оптимального управления - занимается динамическими системами в широком смысле. То есть, СОДУ (все они приводятся к 1 порядку). Гамильтоновыми из них являются далеко не все. Гамильтоновость - очень сильное условие. Например, система для этого должна быть чётномерной, а фазовый поток - сохраняться.

Если мне не изменяет память, любую задачу оптимального управления можно сформулировать либо в Лагранжевой, либо в Гамильтоновой форме. Множители Лагранжа обеспечивают четномерность полученной динамической системы - уравнения Эйлера + ограничения.

[Red_Herring]

timber
У меня сильное впечатление, что в голове у Вас каша, Вы употребляете термины которые где-то когда-то слышали. Так, при обсуждении классической гамильтоновой механики вдруг откуда-то вылезает "гамильтониан -- оператор" (т.е. из квантовой механики), который почему-то "действует на фазовом пространстве". Совершенно неясно, что такое "аналитическая ветвь". а уж "проинтегрировать фазовое пространство" и подавно.

Поэтому если хотите ответов задавайте один-два вразумительных вопроса, используя термины, значение которых Вам ясно, и избегайте спекуляций.

[Munin]

dsge
Я боюсь, память вам изменяет: вы смешиваете задачи оптимального управления и механические системы.

timber в сообщении #1159946 писал(а):

Гамильтонова механика, как себе представляю, это разные виды движений разнообразных объектов в фиксированном (строго заданном) пространстве, которое называется фазовым?

Присоединяюсь к замечанию Red_Herring. (Кстати, жаль, что форум покинул такой специалист, как Oleg Zubelevich, теперь мало кто вам ответит... я-то не специалист в этих областях.)

Вы употребляете термины в кашу. Механика занимается объектами. Но сначала она превращает объекты (и механические системы) в точки, и при этом переносит их из "физического" (термин не устоялся) в конфигурационное пространство. Уже в конф. пространстве движется не объект, а точка. А дальше строится ещё и фазовое пространство по конфигурационному. И в нём опять же движется точка.

Насчёт гамильтониана. Есть русская и английская терминологии. По-русски различают функцию Гамильтона и гамильтониан. (1) Функция Гамильтона - функция, заданная на фазовом пространстве. Используется в классической механике. (2) Гамильтониан - это линейный оператор, а не функция. Этот оператор действует на функции, сами по себе заданные на конфигурационном пространстве ("волновые функции"). Используется в квантовой механике. По-русски (1) никогда гамильтонианом не называют. (2) иногда называют оператор Гамильтона.

По-английски и (1) и (2) называют Hamiltonian. Идёт ли речь о функции (и классической механике), или об операторе (и квантовой механике), приходится догадываться из контекста.

[dsge]

Munin в сообщении #1159963 писал(а):

dsge
Я боюсь, память вам изменяет: вы смешиваете задачи оптимального управления и механические системы.

Нет, не изменяет.
https://en.wikipedia.org/wiki/Optimal_control
или это
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0 ... 0%B8%D0%B5
Понтрягин с соавторами придерживался Гамильтоновой формы задачи оптимального управления, а в книге Алексеев, Тихомиров и Фомин (АТФ) основной является Лагранжева форма.

[Munin]

Да, я неправ, но это какое-то другое применение лагранжева формализма. Какой в нём смысл - не знаю, но явно иной, чем в механике.

[timber]

Red_Herring в сообщении #1159954 писал(а):

timber
У меня сильное впечатление, что в голове у Вас каша, Вы употребляете термины которые где-то когда-то слышали. Так, при обсуждении классической гамильтоновой механики вдруг откуда-то вылезает "гамильтониан -- оператор" (т.е. из квантовой механики), который почему-то "действует на фазовом пространстве". Совершенно неясно, что такое "аналитическая ветвь". а уж "проинтегрировать фазовое пространство" и подавно.

Поэтому если хотите ответов задавайте один-два вразумительных вопроса, используя термины, значение которых Вам ясно, и избегайте спекуляций.

Действительно, в голове у меня каша, много непонятных слов.
Аналитическая ветвь -- это про аналитические методы решения ДУ.
Тогда такой вопрос. Что понимается под качественными методами гамильтоновой механики -- это какие-то геометрические способы решения?

[Munin]

Качественные методы - это способы что-то сказать о предмете, не решая уравнений.

[timber]

Например? Если нам дана гамильтонова система, что нужно, чтобы можно было о ней что-то сказать не решая, как это? Изобразить фазовые траектории и посмотреть на картинку?

[Munin]

Например, да.

[timber]

Ну а как нам в этом помогает симплектическая геометрия?

[Red_Herring]

timber в сообщении #1159974 писал(а):

Аналитическая ветвь -- это про аналитические методы решения ДУ.

А что такое "аналитические методы"? Или это интегрирование в явном виде? Это невозможно, исключая немногие (хотя и важные) частные случаи. И это понимание очень-очень узко. Ну примерно как решение алгебраических уравнений в радикалах.

Но вот что важно: есть вполне интегрируемые системы. Там практически явное решение.

Munin в сообщении #1159970 писал(а):

но явно иной, чем в механике.

Как сказать: в механике мы ищем траекторию точки, которая оптимизирует "нечто". В ТОУ мы ищем управление, которое оптимизирует "нечто". Другое дело, что там связь более сложная. Например: есть ОДУ $x''=f(x,u)$ с начальными условиями $x(t_0)=x_0, x'(t_0)=v_0$ и мы хотим минимизировать $|x(t_1)-x_1|^2 + \alpha |x'(t_1)|^2+\beta \int_{t_0}^{t_1}u(t)^2\,dt$, т.е. мы стремимся мягко припарковать точку возле $x_1$, заплатив поменьше за управление $\{u(t)\}$

-- 15.10.2016, 08:57 --

timber в сообщении #1159990 писал(а):

Ну а как нам в этом помогает симплектическая геометрия?

В чем то помогает, поскольку описывает основные свойства симплектических многообразий и потоков на них, согласованных с симплектической структурой (гамильтоновые включая). Но следует помнить, что симплектическая геометрия это отдельная наука (а симплектическая топология еще одна отдельная наука), связанная с теорией гамильтоновых систем, но все же другая. И далеко не все задачи, там решаемые, полезны для теории гамильтоновых систем.

[Munin]

Red_Herring
А выполняет ли симплектическая геометрия роль языка для гамильтоновой механики? Я так понимал, что да.