Площадь трапеции через формулу Герона

[Побережный Александр]

Формула Герона для трапеции.

Формула Герона позволяет по известным сторонам вычислить площадь треугольника.
Но по известным сторонам можно вычислить и площадь произвольной трапеции.

Пусть задана произвольная трапеция со сторонами $a$, $b$, $c$, $d$.
Стороны $a, c$ - основания, причем $a>c$. Стороны $b, d$ - боковые стороны трапеции.
Параллельным переносом стороны b образуем треугольник со сторонами $(a-c), b, d$.
Площадь $S_\Delta$ этого треугольника можно вычислить по формуле Герона.

С другой стороны, $S_\Delta=\frac{a-c}{2}h$. Следовательно $h=\frac{2S_\Delta}{a-c}$

Высоты у трапеции и данного треугольника одинаковые.
Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле

$S=\frac{a+c}{2}h=\frac{a+c}{2}\frac{2S_\Delta}{a-c}=S_\Delta\frac{a+c}{a-c}$

$S=S_\Delta\frac{a+c}{a-c}$

Можно формулу записать в таком виде:

$S=S_\Delta\frac{1+k}{1-k}$, где $k=\frac{c}{a}$

Площадь трапеции однозначно выражается через известные ее стороны.

[gris]

<про однозначность трапеции по сторонам. Кроме параллелограмма, конечно>

[mustitz]

Ромб это трапеция, но знания стороны ромба недостаточно для определения его площади.

[OlegCh]

mustitz в сообщении #1159404 писал(а):

Ромб это трапеция

Ромб - это не трапеция
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, трапеза») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. (Математический энциклопедический словарь)

[svv]

(Кстати)

OlegCh в сообщении #1159439 писал(а):

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, трапеза»)

Лингвисты до сих пор не пришли к единому мнению, читалась ли ζ в классическую эпоху как дз или как зд, т.е., в данном случае, трáпэдза или трáпэзда.

[grizzly]

Что-то странное.
Вроде видел в этой теме правильное замечание вроде того, что нужно говорить не о "выражении площади трапеции через стороны $a,b,c,d$", а о "выражении площади трапеции через основания $a,c$ и стороны $b,d$ при условии $a>c$". Сейчас не вижу. Пусть будет снова.

[Otta]

grizzly

Побережный Александр в сообщении #1159394 писал(а):

Стороны $a, c$ - основания, причем $a>c$. Стороны $b, d$ - боковые стороны трапеции.

[grizzly]

Otta
Это я понимаю. Я говорю, что такой итоговый вывод делать некорректно:

Побережный Александр в сообщении #1159394 писал(а):

Но по известным сторонам можно вычислить и площадь произвольной трапеции.

Побережный Александр в сообщении #1159394 писал(а):

Площадь трапеции однозначно выражается через известные ее стороны.

А с доказательством всё нормально, просто вывод нужно формулировать аккуратно. Тогда и с вариантами определений трапеции не нужно возиться.

[Otta]

Ага, вот теперь и я Вас поняла. :)

[mustitz]

OlegCh в сообщении #1159439 писал(а):

mustitz в сообщении #1159404 писал(а):

Ромб это трапеция

Ромб - это не трапеция
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, трапеза») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. (Математический энциклопедический словарь)

Странно, английский аналог Trapezoid не требует того, чтобы две другие стороны были не параллельны. Мне кажется, это более логичный подход.

[svv]

Формально Побережный Александр защитил себя от замечаний по поводу параллелограмма, особенно если переместить его оговорку насчёт $a>c$ в более подходящее место (повыше). Но мне кажется, он об этом опасном случае не думал, и $a>c$ у него просто для определённости построения: обозначим через $a$ большее основание и будем уверены, что $a-c$ не получится отрицательным.

[grizzly]

mustitz в сообщении #1159477 писал(а):

Странно, английский аналог Trapezoid не требует того, чтобы две другие стороны были не параллельны. Мне кажется, это более логичный подход.

Посмотрите хотя бы в англо-вики про этот термин -- там всё подробно объясняется.

[svv]

mustitz в сообщении #1159477 писал(а):

Мне кажется, это более логичный подход.

Я думаю, Вы правы.

https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezoid#Special_cases писал(а):

There is some disagreement whether parallelograms, which have two pairs of parallel sides, should be regarded as trapezoids.

Мы ведь почему «на автомате» подумали, что ромб — тоже трапеция? Потому что привыкли, что окружность — тоже эллипс, квадрат — тоже прямоугольник, а прямая линия — частный случай кривой. Дух математических определений стремится к минимуму особых случаев при формулировке теорем. В этом контексте, предлагаю несогласным найти более вескую причину не считать параллелограмм трапецией, чем ссылка на придуманное кем-то определение.

[OlegCh]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1159496 писал(а):

В этом контексте, предлагаю несогласным найти более вескую причину не считать параллелограмм трапецией, чем ссылка на придуманное кем-то определение.

Можно организовать петицию на Change.org

[provincialka]

svv в сообщении #1159496 писал(а):

В этом контексте, предлагаю несогласным найти более вескую причину не считать параллелограмм трапецией

Я знаю только одну.

Учебник по геометрии писал(а):

Теорема. У равнобокой трапеции углы при основании совпадают