Теор. вер. Сумма нормальных распределений

[jackie_jackies]

Дано
Для тестирования некоторого свойства существует два независимых теста. Распределение тестовых баллов в первом тесте подчиняется нормальному распределению со средним 40 и дисперсией 36, а во втором – нормальному распределению со средним 60 и дисперсией 144. Экспериментатор для увеличения надежности тестирования решил использовать среднее арифметическое значение тестовых баллов по первому и второму тестам.
Найти
Найдите вероятность того, что среднее арифметическое этих тестов у некоторого испытуемого окажется менее 40 баллов.
Жалкая попытка решения
Среднее арифметическое тестового балла $Z$ – некая случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения (по свойству устойчивости).
Если $Z=X+Y$, тогда $a(Z)=a(X+Y)=a(X)+a(Y)=40+60=100$
По такому же свойству, если $Z=X+Y$, тогда $D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)$, т.к. $X$ и $Y$ – независимые случайные величины. $D(Z)=180$.
Введем случайную величину $z$, $z=(Z-a)/\sigma$, где $a$ – среднее, $\sigma$ – стандартное отклонение.
Тогда $Z=a+\sigma z$. Значит, $Р(Z<40) = Р(100+13,4z<40)$, [13,4– стандартное отклонение, рассчитывающееся как квадратный корень $D(Z)=180$].
$Р(z<(40-100)/13,4)=P(z<-4,48)=\Phi(-4,48)=$

И тут я понимаю, что-то идет не так, т.к. $z$ очень редко превышает значение 3, не говоря о 4...
Пожалуйста, подскажите, что я делаю не так!

[garin99]

У Вас не среднее арифметическое

[jackie_jackies]

Пожалуйста, объясните, что Вы имеете ввиду?

[garin99]

Если у Вас в кармане 60 рублей, а у меня 40. То в среднем у нас 50 рублей, а не сто.

[jackie_jackies]

Да, это более чем логично.
И если считать с ср арифметическим 50, то все логично выходит.
Но 100 - это же не среднее арифметическое, а сумма математических ожиданий двух нормальных распределений по формуле $a(Z)=а(X)+a(Y)$. В чем там подвох, подскажите?

[garin99]

$Z=\frac{X+Y}{2}$

[jackie_jackies]

в этой формуле Z среднее арифметическое средних теста?
а точно при сумме нормальных распределений, полученное распределение имеет среднее, равное среднему арифметическому средних двух распределений?

[garin99]

jackie_jackies в сообщении #1158883 писал(а):

Дано
...
Найти
Найдите вероятность того, что среднее арифметическое этих тестов у некоторого испытуемого окажется менее 40 баллов.
...

Это означает что $Z=\frac{X+Y}{2}$
И все вычисления надо проводить исходя из этого.

[jackie_jackies]

Но это же не корректно с логикой нормальных распределений получается
и даже если подставить число $z=(x+y)/2$, то ответ не логичный получается,
вероятность 0,2266 для этого случая слишком много

[wrest]

jackie_jackies
Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин равно этой линейной комбинации математических ожиданий этих случайных величин.


А чему равна дисперсия линейной комбинации независимых случайных величин?

[jackie_jackies]

сумме дисперсий...

[Brukvalub]

wrest в сообщении #1158907 писал(а):

А чему равна дисперсия линейной комбинации независимых случайных величин?

jackie_jackies в сообщении #1158910 писал(а):

сумме дисперсий...

[wrest]

jackie_jackies
Нет.
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, но дисперсия линейной комбинации независимых случайных величин в общем случае не равна этой линейной комбинации их дисперсий.

Так чему же равна дисперсия линейной комбинации независимых случайных величин?

Например, если вы поделите случайную величину на два, как изменится дисперсия?

[jackie_jackies]

уменьшится на 4?

[wrest]

jackie_jackies в сообщении #1158921 писал(а):

уменьшится на 4?