2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Как известно, язык логики второго порядка позволяет говорить о "любых свойствах объектов" (имея в виду в том числе и невыразимые формулами свойства). Я тут задумался над тем, каков мог бы быть смысл подобных формулировок, и первый же подвернувшийся пример показался мне несколько странным. Вот скажите, как можно трактовать формулу:

$\forall Z ~ Z(x) \to Z(y)$?

Здесь маленькими буквами обозначены предметные переменные, а большими - предикатные переменные. Своего собственного варианта я пока не озвучиваю, ибо нахожу его несколько ... неожиданным и хотел бы сначала услышать мнения других людей - интерпретируют ли они эту формулу таким же или каким-то иным образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 12:51 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
$x=y$? (бредово)

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Sonic86 в сообщении #1157140 писал(а):
$x=y$? (бредово)

Бинго! Я тоже так прочитал и тоже удивляюсь, что звучит бредово. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 13:27 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
Я не спец, но, если в формуле перейти к множествам $P(t)\to t \in P$ в какой-нибудь теории множеств со страшными множествами (нерегулярными?), то м.б. может оказаться, что предикат все-таки получается несимметричным: $x=y$ или $x=\text{страшному множеству}$. Но я такие теории так и не выучил :oops:

Ерунду пишу:
надо просто взять $Z(t)=

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 13:29 


08/03/11
272
$
\forall x \forall y (P(x,y) \equiv \forall Z Z(x) \to Z(y))
$
Это аксиома для предиката $P(x,y)$ для Вашего предложения, со свободными индивидными переменными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
alex_dorin в сообщении #1157149 писал(а):
$\forall x \forall y (P(x,y) \equiv \forall Z Z(x) \to Z(y))$
Это аксиома для предиката $P(x,y)$ для Вашего предложения, со свободными индивидными переменными.

1) Я правильно понял, что $\equiv$ - это $\leftrightarrow$?
2) Что Вы хотели сказать этим $P(x,y)$?

Sonic86 в сообщении #1157148 писал(а):
надо просто взять $Z(t)=

Я рассуждал так:
Предикатную переменную под квантором всеобщности можно заменить любым выражением, соответствующим предикату. Заменим $Z$ на $\neg Z$:
$\forall Z ~ \neg Z(x) \to \neg Z(y)$.
Преобразуем по правилам логики высказываний:
$\forall Z ~ Z(y) \to Z(x)$.

Итак, получили, что формула представляет симметричное отношение. Рефлексивность очевидна. Транзитивность доказывается тоже легко. Стало быть, формула представляет отношение эквивалентности. Чтобы его можно было трактовать как равенство с точки зрения логики первого порядка нужно ещё одно - чтобы для любого предиката $\varphi$ из того, что $x$ и $y$ удовлетворяют формуле, следовало $\varphi(x) \leftrightarrow \varphi(y)$. Но это, собственно, очевидно из того, что выполняются $\forall Z ~ Z(x) \to Z(y)$ и $\forall Z ~ Z(y) \to Z(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 14:25 


08/03/11
272
[/quote]
epros в сообщении #1157168 писал(а):
1) Я правильно понял, что $\equiv$ - это $\leftrightarrow$?

да, это знак эквивалентности.

epros в сообщении #1157168 писал(а):
2) Что Вы хотели сказать этим $P(x,y)$?

$P(x,y)$ - это двухместный предикат для Вашего предложения , содержащего свободные переменные $x, y$.
О его доказуемости говорить нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
alex_dorin в сообщении #1157173 писал(а):
$P(x,y)$ - это двухместный предикат для Вашего предложения , содержащего свободные переменные $x, y$.
О его доказуемости говорить нельзя.

Разумеется, формула была с двумя свободными предметными переменными, стало быть, она выражает бинарное отношение между объектами. Мы здесь, вроде, говорили не о её "доказуемости", а о том, что это отношение странным образом вдруг оказалось отношением равенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 14:41 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
А вообще в этой логике нетривиальные предикаты есть? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 14:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3923
МФТИ ФУПМ
https://en.wikipedia.org/wiki/Identity_ ... scernibles

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27142
Sonic86 в сообщении #1157182 писал(а):
А вообще в этой логике нетривиальные предикаты есть? :shock:
Имеется в виду, какие из них определимы в чистой логике второго порядка?

-- Вт окт 04, 2016 20:40:26 --

Тут всё просто. Модель чистой логики второго порядка, очевидно, определяется одним множеством. Изоморфизмы множеств — это биекции, так что определимые отношения или операции должны быть инвариантными относительно биекций носителя. Так что для бинарного отношения $R$, например, $y\ne z\to (xRy\leftrightarrow xRz)$ и, скажем, $x=y\to(xRx\leftrightarrow yRy)$. Оно определяется только значениями, которые оно принимает на одинаковых и на разных элементах — не более четырёх определимых в каждой модели бинарных отношений: тождественные ложь и истина, равенство и неравенство. Так же можно обойтись и с остальными определимыми отношениями и операциями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 20:47 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
arseniiv в сообщении #1157256 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1157182 писал(а):
А вообще в этой логике нетривиальные предикаты есть? :shock:
Имеется в виду, какие из них определимы в чистой логике второго порядка?
Да. Точнее - насколько сложные предикаты могут быть выражены формулами, замкнутыми по переменным типа "свойство"

arseniiv в сообщении #1157256 писал(а):
Тут всё просто. Модель чистой логики второго порядка, очевидно, определяется одним множеством. Изоморфизмы множеств — это биекции, так что определимые отношения или операции должны быть инвариантными относительно биекций носителя. Так что для бинарного отношения $R$, например, $y\ne z\to (xRy\leftrightarrow xRz)$ и, скажем, $x=y\to(xRx\leftrightarrow yRy)$. Оно определяется только значениями, которые оно принимает на одинаковых и на разных элементах — не более четырёх определимых в каждой модели бинарных отношений: тождественные ложь и истина, равенство и неравенство. Так же можно обойтись и с остальными определимыми отношениями и операциями.
Ой, я ничего не понял.
Вы хотите сказать, что самое сложное отношение, которое так можно определить - это равенство и все? Т.е. равенство + переменные + логические связки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5798

(Оффтоп)

Кто о чём, а epros о логике второго порядка :mrgreen: (я как раз недавно читал вашу предыдущую тему на эту тему).

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27142
Sonic86
Если я нигде не нафейлил, то равенство, да. Правда, надо всё-таки доказать отдельно, что больше-чем-бинарные отношения будут раскладываться по таким бинарным. Ещё тут есть место для комбинаторики: неизоморфных $n$-арных будет столько же, сколько функций из непомеченных разбиений $n$-элементного множества в $\{0,1\}$.

А вот с функциями скучнее. Выразима тождественная функция и вообще функции, равные одному из своих аргументов, и больше не должно быть никаких. Так что нульарных функций вообще не выразима ни одна, несмотря на то, что в модели с областью из одного элемента мы могли бы выбрать её однозначно. Только чтобы это сделать, надо ограничить модели одноэлементными дополнительной аксиомой $x=y$, и это будет уже не чистая логика второго порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл некоторых формул логики второго порядка
Сообщение04.10.2016, 21:18 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
arseniiv в сообщении #1157322 писал(а):
А вот с функциями скучнее.
Я не понял, откуда Вы берете функции. Берете кванторы по функциям?

arseniiv в сообщении #1157322 писал(а):
Если я нигде не нафейлил, то равенство, да.
Я, честно говоря, не вижу доказательства :-(

А вообще в чем пафос этой логики второго порядка, если там кроме равенств нет ничего? :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: artempalkin


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group