2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Гиперболический контангенс
Сообщение28.09.2016, 15:52 
Аватара пользователя


21/09/13
137
Уфа
Доброго времени суток! Подскажите, пожалуйста, где можно посмотреть про такое разложение гиперболического котангенса
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\mu+n^2}=\frac{\pi\cth{\pi\sqrt{\mu}}}{2\sqrt{\mu}}-\frac{1}{2\mu}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение28.09.2016, 16:52 


25/08/11

1074
В учебнике Фихтенгольца, например. За исходное берётся произведение Эйлера для синуса, потом оно логарифмируется и дифференцируется. Для гиперболического надо ещё домножить аргумент на мнимую единицу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение28.09.2016, 16:55 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
Странно как-то. Подставляем $\mu=0$. Слева — ряд, сходящийся к $\frac{\pi^2}6$, если не ошибаюсь. Справа — неведомую науке хрень. Мораль:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение28.09.2016, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Нормально. Ряд для котангенса содержит $1/x$ и нечистая сила сокращается. В пределе, конечно, надо рассматривать. Можно ряды для обоих абоих абеех правой и левой частей сравнить :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический котангенс
Сообщение28.09.2016, 20:17 


29/09/06
4552
gris в сообщении #1155426 писал(а):
Можно ряды для обоих частей сравнить

gris, для обоих частей --- никак нельзя.

Сорри, если что-то изменилось за последние годы, а я не знаю . :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение28.09.2016, 20:46 


25/08/11

1074
часть-она у вас стала мужского рода? Смотря какая часть, конечно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение28.09.2016, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Алексей К., вот говорят: надо учиться всю жизнь. А у кого учиться? Вашего внимания алчешь, алчешь, а его нет и нет. Ввиду этого приходится иногда ошибки подпускать, глядишь и получишь кусочек отеческого поучения :-) Спасибо!
sergei1961, я вначале хотел написать для обоих выражений, или для обоих рядов. Ведь это правильно? А потом написал "частей", а про обои забыл :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение28.09.2016, 20:54 


29/09/06
4552

(Оффтоп)

gris в сообщении #1155515 писал(а):
а его нет и нет
В натуре --- нужды у людей не случается. Сами видите --- случилось, и я сразу тут.
И, кстати, задумался --- прав ли я? Ведь все части ряда Тейлора --- сильно мужского рода, даже $-\dfrac{x^2}{2!}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение28.09.2016, 21:07 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
RikkiTan1
Некрасивый корень из мю давайте обозначим новой буквой, и перепишем полученную весчь именно как разложение котахенса. Будет формула, во всем похожая на формулу для котангенса (и получающаяся из нее соот-й подстановкой).
А замечательное "элементарное" док-во последней можно найти в книге "Доказательство из Книги"...

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение28.09.2016, 21:25 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Можно попытаться доказать с нуля: заменить $\mu$ на $-\mu^2$, потом упростить до $\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{n^2-\mu^2}=\frac{\pi \ctg (\pi \mu)}{\mu}$. С обеих сторон - мероморфные функции $\mu$, все особые точки - полюса, вычеты можем подсчитать - они будут равны. Отношение функций - функция, целая на всем $\bar{\mathbb{C}}$, значит отношение равно константе.
Хотя это, конечно, дублирование рассуждений.
Также есть похожая формула суммирования $\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}f(n)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_G f(x)\ctg (\pi x) dx$. Соотношение выше должно из нее следовать.

Пишу по памяти, могу наврать, прошу извинений за потенциальные ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение28.09.2016, 23:59 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Sonic86 в сообщении #1155529 писал(а):
Отношение функций - функция, целая на всем $\bar{\mathbb{C}}$,

Это - не просто...
А классики ("прием Герглотца") доказывали так: проверяли для суммы , и для котангенса - что имеет место быть
$f(\frac{x}{2}) + f(\frac{x+1}{2}) = f(x)$, нечетность, и периодичность. Отсюда извлекали непрерывность , а затем и нУлевость разности на вещественной оси...

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение29.09.2016, 09:08 


25/08/11

1074
Котангенс непрерывный на действительной оси? Хоть тот, хоть тот?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение29.09.2016, 11:34 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
sergei1961
DeBill в сообщении #1155575 писал(а):
непрерывность ..... разности на вещественной оси..

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение29.09.2016, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora

(Оффтоп)

gris в сообщении #1155426 писал(а):
обоих абоих абеех
для абедзвюх частак (по-белорусски)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гиперболический контангенс
Сообщение29.09.2016, 13:17 


25/08/11

1074
Понял, разности. Но кажется ещё нужна теорема о единственности решения указанного функционального уравнения, которое непрерывно, периодично и нечётно? И это точно не проходит для обычного котангенса.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group