Совместное распределение случайных величин

[falazure123]

$\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[-1, 1]$.

Есть еще одна случайная величина $\eta = \xi ^3$

Как выглядит совместная функция распределения этих случайных величин?

Начинаю писать по определению:

$F_{\xi, \eta} (x,y) = P(\xi < x, \eta < y) = P(\xi < x, \xi ^3 < y) = P(\xi < x, \xi < y^{1/3})$ . Вот дальше не уверен , что правильно пишу.

$= P(\xi < \min\left\lbrace x, y^{1/3} \right\rbrace)$.

А дальше мне посоветовали написать так:
$F_{\xi, \eta} (x,y) = \begin{cases} \min\left\lbrace x, y^{1/3} \right\rbrace + 1,&\text{если $x,y \in [-1,1]$;}\\ 0,&\text{если $x < -1, y < -1$;}\\ 1,&\text{если $x > 1, y > 1$.} \end{cases} $

Это верно или всё таки где-то ошибка есть ?

[mihaild]

Первая строчка неправильная - это легко увидеть, подставив $x = y = 1$ и получив $F_{\xi, \eta} = 2$.
Попробуйте написать функцию распределения $F_\xi(x)$, и просто подставить в нее $\min(x, \sqrt[3]{y})$ вместо $x$)

[falazure123]

mihaild в сообщении #1152564 писал(а):

Первая строчка неправильная - это легко увидеть, подставив $x = y = 1$ и получив $F_{\xi, \eta} = 2$.
Попробуйте написать функцию распределения $\F_\xi(x)$, и просто подставить в нее $\min(x, \sqrt[3]{y})$ вместо $x$)

Ну да. в первой строке $+1 $ точно лишний.

Подставил в фун-ию распределения минимум и что мне это дает?
$F_\xi (\min(x, \sqrt[3]{y})) = P(\xi < \min(x, \sqrt[3]{y}))$

[Otta]

falazure123 в сообщении #1152566 писал(а):

Подставил в фун-ию распределения минимум и что мне это дает?

Вы ее сперва выпишите, функцию распределения. А потом подставьте.

[mihaild]

falazure123 в сообщении #1152566 писал(а):

Подставил в фун-ию распределения минимум и что мне это дает?

В смысле, явно выписать $F_\xi(x)$.

Если просто убрать $+1$, то можно увидеть, что что-то не так, подставив $x = y = -1$.

[falazure123]

mihaild в сообщении #1152568 писал(а):

falazure123 в сообщении #1152566 писал(а):

Подставил в фун-ию распределения минимум и что мне это дает?

В смысле, явно выписать $F_\xi(x)$.

Если просто убрать $+1$, то можно увидеть, что что-то не так, подставив $x = y = -1$.

$F_\xi (x) = \begin{cases} \frac{x + 1}{2},&\text{если $ -1 \leqslant x < 1$;}\\ 0,&\text{если $x < -1$;}\\ 1,&\text{если $x \geqslant 1$.} \end{cases}$

[Otta]

Почему спрашиваете?
Вы свели все к выражению вида $P\{\xi<\text{что-то}\}$. Вопрос - какое отношение это имеет к функции распределения и чего куда подставлять?

[falazure123]

Otta в сообщении #1152570 писал(а):

Почему спрашиваете?
Вы свели все к выражению вида $P\{\xi<\text{что-то}\}$. Вопрос - какое отношение это имеет к функции распределения и чего куда подставлять?

вот теперь выписал явно для $\xi$ функцию распределения

[Otta]

falazure123 в сообщении #1152571 писал(а):

вот теперь выписал явно для $\xi$ функцию распределения

Я вижу, продолжайте, что же остановились.
Мой вопрос относился к тому Вашему вопросу, который Вы благополучно удалили.

Не надо спрашивать о каждом своем действии.

[falazure123]

$F_\xi (\min(x, \sqrt[3]{y})) = \begin{cases} \frac{\min(x, \sqrt[3]{y})+ 1}{2},&\text{если $ -1 \leqslant \min(x, \sqrt[3]{y})< 1$;}\\ 0,&\text{если $\min(x, \sqrt[3]{y}) < -1$;}\\ 1,&\text{если $\min(x, \sqrt[3]{y})\geqslant 1$.} \end{cases}$

я просто не понимаю, что из этого следовать должно..
задачка-то про совместное распределение. начал вроде писать с совместного. а теперь получается пишу для $\xi$ только.

[Otta]

$F_{\xi, \eta} (x,y) = P(\xi < x, \eta < y) = P(\xi < x, \xi ^3 < y) = P(\xi < x, \xi < y^{1/3})$
Это понимаете.

falazure123 в сообщении #1152562 писал(а):

$= P(\xi < \min\left\lbrace x, y^{1/3} \right\rbrace)$.

Это точно понимаете?

[falazure123]

Otta в сообщении #1152577 писал(а):

$F_{\xi, \eta} (x,y) = P(\xi < x, \eta < y) = P(\xi < x, \xi ^3 < y) = P(\xi < x, \xi < y^{1/3})$
Это понимаете.

falazure123 в сообщении #1152562 писал(а):

$= P(\xi < \min\left\lbrace x, y^{1/3} \right\rbrace)$.

Это точно понимаете?

ну да. раз число меньше двух разных, то можно записать, что оно меньше минимума из этих чисел

выходит, что $F_{\xi,\eta} (x,y) $ равняется вот той функции распределения $F_\xi (\min(x, \sqrt[3]{y}))$ ?

[Otta]

Хорошо, значит у Вас цепочка равенств. Функция распределения это что такое? по определению? скажем, $F_\xi$

[falazure123]

Otta в сообщении #1152579 писал(а):

Хорошо, значит у Вас цепочка равенств. Функция распределения это что такое? по определению? скажем, $F_\xi$

$F_\xi (x)= P(\xi < x) $

[Otta]

Справа налево равенства умеете читать?