2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подскажите метод решения - ДУ первого порядка
Сообщение07.09.2016, 15:54 


07/09/16
5
Здравствуйте. Подскажите метод решения такого диф. уравнения:

$   CU(t)\frac{dU(t)}{dt}+ \frac{1-e^{\frac{-t}{T}}}{R}[U(t)^2-EU(t)] = P(t)$

$C, R, T, E $ - положительные константы.

Возможно ли его вообще решить аналитически? Буду признателен за указание на какой-нибудь литературный источник.
Интересует установление зависимости $U[P(t)]$.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.09.2016, 16:11 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.09.2016, 22:10 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Подскажите метод решения - ДУ первого порядка
Сообщение07.09.2016, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
Выходя за рамки вопроса: Ваше уравнение напоминает уравнение баланса мощности в электрической цепи с сопротивлением, конденсатором, каким-то внешним источником. Соответственно, оно квадратично относительно неизвестной величины — напряжения $U$. Нелинейные уравнения решаются гораздо тяжелее, чем линейные, если решаются вообще.

Может быть, в Вашем распоряжении есть и исходные линейные уравнения? (полученные из законов Кирхгофа) Давайте их. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Подскажите метод решения - ДУ первого порядка
Сообщение08.09.2016, 16:44 


07/09/16
5
svv в сообщении #1149961 писал(а):
Может быть, в Вашем распоряжении есть и исходные линейные уравнения? (полученные из законов Кирхгофа) Давайте их. :-)


Хорошо. Тогда я развернуто изложу условие задачи, стоящей передо мной.

Схема электрической цепи: Изображение

Данная схема описывается системой из трех уравнений:

$$\begin{cases}
U(t)=RI_L (t)+L\frac{dI_L (t)}{dt}+E,&\text{(1)}\\
I_C (t)=C\frac{dU(t)}{dt},&\text{(2)}\\
I(t)=I_L (t)+I_C (t).&\text{(3)}
\end{cases}$$

Цепь связывает два источника. Первый - неизвестное произвольное напряжение $U(t)$, второй - идеальный источник постоянной ЭДС $E$.
Моя задача такова: по известной мощности $P(t)=I(t)\cdot U(t)$ найти закон $U(t)$.
Я решил действовать вот так:
Найдем для этого выражение для тока $I(t)$. Решением первого уравнения будет:

$I_L (t)=\frac{U(t)-E}{R} \cdot (1 - e^\frac{-t}{T}),$ (4)

где $T=\frac{L}{R}.$

Подставляя (2) и (4) в (3) получим выражение для тока источника $I(t)$:

$I(t)=\frac{U(t)-E}{R} \cdot (1 - e^\frac{-t}{T})+C\frac{dU(t)}{dt}$. (5)

Теперь остается умножить уравнение (5) на $U(t)$ и решить получившееся уравнение (см. начальный пост) относительно $U(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.09.2016, 17:25 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- картинку в теги img.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подскажите метод решения - ДУ первого порядка
Сообщение08.09.2016, 19:47 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
Konstantin_CHEL в сообщении #1150105 писал(а):
Решением первого уравнения будет:

$I_L (t)=\frac{U(t)-E}{R} \cdot (1 - e^\frac{-t}{T}),$ (4)

где $T=\frac{L}{R}.$


Решение первого уравнения другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подскажите метод решения - ДУ первого порядка
Сообщение08.09.2016, 20:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Konstantin_CHEL в сообщении #1150105 писал(а):
Решением первого уравнения будет:

$I_L (t)=\frac{U(t)-E}{R} \cdot (1 - e^\frac{-t}{T}),$ (4)

где $T=\frac{L}{R}.$
Ну что Вы, ни в коем случае такого решения не будет (это уже mihiv написал, пока я с вашей системой возился).
Тут вообще надо все неизвестные, кроме $U(t)$, выразить через $P(t)$ и $U(t)$. В результате получится дифференциальное уравнение второго порядка (нелинейное), которое решать непонятно как. Конечно, численными методами можно, если задать конкретные (численные) значения $C$, $R$, $L$, $E$ и конкретную функцию $P(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подскажите метод решения - ДУ первого порядка
Сообщение08.09.2016, 23:22 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Не понял, что нелинейного. Продифференцируйте первое уравнения, подставьте второе, а потом третье. Получится линейное второго порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подскажите метод решения - ДУ первого порядка
Сообщение09.09.2016, 11:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
V.V. в сообщении #1150184 писал(а):
Не понял, что нелинейного.
Вы, видимо, не обратили внимания, что $I(t)=\frac{P(t)}{U(t)}$, где $P(t)$заданная функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подскажите метод решения - ДУ первого порядка
Сообщение09.09.2016, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
Несложно получить такое уравнение, в котором неизвестной будет $I_L$:
(1) даёт выражение $U$ через $I_L$;
подставив $U$ в правую часть (2), выразим $I_C$ через $I_L$;
подставив $I_C$ в правую часть (3), выразим $I$ через $I_L$;
подставив $U$ и $I$ в $P=UI$, выразим $P$ через $I_L$.

Найдя $I_L$, получим и $U$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group