Градиент функции

[falazure123]

функция $\Phi (x-y) = \frac{1}{n (n-2) \omega_{n}}\cdot \frac{1}{|x-y|^{n-2}}$

надо посчитать градиент.
Я дифференцирую $\Phi (x) = \frac{1}{n (n-2) \omega_{n}}\cdot \frac{1}{|x|^{n-2}}$

У меня получается такое
$ - \frac{1}{n \omega_{n}} \cdot \frac{x}{|x|^n}$

Хотя на паре записал со слов лектора такое (и это должно быть верно, т.к. доказывали теорему):
$\operatorname{grad} \Phi (x - y) = \frac{1}{n \omega_{n}} \cdot \frac{x-y}{|x-y|^n}$ . Куда тут девается минус? Один раз он берётся от модуля в отрицательной степени. А откуда берётся еще минус?

Или я ошибся в счёте. Или я не понимаю откуда еще минус взять.

[mihaild]

Во-первых, градиент функции $n$ переменных - это $n$-мерный вектор, а у вас написан скаляр.
Во-вторых, градиент считается в точке. Надо дифференцировать $\Phi(x - y)$ по $x$ и $y$, а не $\Phi(x)$.

[falazure123]

mihaild в сообщении #1147884 писал(а):

Во-первых, градиент функции $n$ переменных - это $n$-мерный вектор, а у вас написан скаляр.
Во-вторых, градиент считается в точке. Надо дифференцировать $\Phi(x - y)$ по $x$ и $y$, а не $\Phi(x)$.

ну я имел в виду, что продифференцировал по какому-то $x_{i}$ и получил такой вектор. То есть в первом сообщении в последней формуле имеется в виду $x = (x_1, ..., x_n), y = (y_1, ..., y_n)$

Что значит по $x и y $ ? Взять производные по $x_{i}$ и по $y_{i}$ ? ну они должны быть вообще одинаковые из-за $|x-y| = |y-x|$

[mihaild]

Если $x$ и $y$ - это вектора, то это нужно указывать. И писать норму вместо модуля:-)

Нужно дифференцировать по $x_i$ функцию $\Phi(\vec{x} - \vec{y})$ - для разных $\vec{y}$ получатся разные значения.

[falazure123]

mihaild в сообщении #1147898 писал(а):

Если $x$ и $y$ - это вектора, то это нужно указывать. И писать норму вместо модуля:-)

Нужно дифференцировать по $x_i$ функцию $\Phi(\vec{x} - \vec{y})$ - для разных $\vec{y}$ получатся разные значения.

Не понимаю всё равно..
$\frac{1}{||x-y||^n} = ||x-y||^{-n}$

посчитаю производную по $x_i$

$-n ||x-y||^{-n-1} $ и дальше идёт множитель какой-то.
$||x-y|| = \sqrt{\sum\limits_{1}^{n} (x_{i} - y_{i}) ^{2}}$. Значит надо взять производную по $x_i$ от такого корня. это будет $\frac{2 (x_i - y_i)}{2 ||x-y||}$
Это и есть этот 'какой-то' множитель
Где я не прав? никак не понимаю

[mihaild]

Теперь всё правильно. И если посмотреть - видно, что при $x_i \to \infty$ функция убывает при $n > 2$ (т.к. норма становится примерно равной $x_i$).

В исходной формуле вообще не согласуются размерности: если $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n$, то градиент должен быть из $\mathbb{R}^{2n}$.

[falazure123]

mihaild в сообщении #1147915 писал(а):

Теперь всё правильно. И если посмотреть - видно, что при $x_i \to \infty$ функция убывает при $n > 2$ (т.к. норма становится примерно равной $x_i$).

В исходной формуле вообще не согласуются размерности: если $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n$, то градиент должен быть из $\mathbb{R}^{2n}$.

ну да. правильно.

только вот
$\operatorname{grad} \Phi (x - y) = \frac{1}{n \omega_{n}} \cdot \frac{x-y}{|x-y|^n}$
почему здесь нет знака минус ?

[mihaild]

falazure123 в сообщении #1147927 писал(а):

$\operatorname{grad} \Phi (x - y) = \frac{1}{n \omega_{n}} \cdot \frac{x-y}{|x-y|^n}$
почему здесь нет знака минус ?

Более интересный вопрос - почему слева и справа вектора разной размерности?

[falazure123]

mihaild в сообщении #1147929 писал(а):

falazure123 в сообщении #1147927 писал(а):

$\operatorname{grad} \Phi (x - y) = \frac{1}{n \omega_{n}} \cdot \frac{x-y}{|x-y|^n}$
почему здесь нет знака минус ?

Более интересный вопрос - почему слева и справа вектора разной размерности?

градиент видимо только по икс.

пишу всё из конспекта лекций(так что по идее тут всё верно написано. просто многие обозначения неудобные)

[mihaild]

Может быть только по $y$? На плюс бесконечности градиент должен быть отрицательным, т.к. функция убывает.

[falazure123]

mihaild в сообщении #1147941 писал(а):

Может быть только по $y$? На плюс бесконечности градиент должен быть отрицательным, т.к. функция убывает.

да, по $y$
тогда по идее и понятно откуда минус еще один вылезет

-- 30.08.2016, 22:19 --

хотя нет. всё равно я не понимаю откуда еще раз минус берётся.
или его там может вообще не должно быть и нас на лекции обманули? :c

-- 30.08.2016, 22:21 --

и вообще функция моя зависит от одной переменной только ведь. я писал в самом начале , что такое $\Phi (x)$

[svv]

По-хорошему, в таких случаях уточняют: $\operatorname{grad}_x u(x, y)$ (то есть $e_i\frac{\partial u}{\partial x^i}$), или $\operatorname{grad}_y u(x, y)$ (соответственно).

В Вашем случае $u(x, y)=\Phi(x-y)$, поэтому $\operatorname{grad}_x\Phi=-\operatorname{grad}_y\Phi$.

falazure123 в сообщении #1147942 писал(а):

функция моя зависит от одной переменной только ведь

Компоненты градиента — это производные по координатам. Компоненты вектора $x-y$ не являются координатами точки. (Да, где-то существует точка ровно с такими координатами, но она зависит от выбора начала координат, и точно не имеется здесь в виду.) Поэтому дифференцировать надо не $\Phi$ по компонентам $x-y$, а сложную функцию $u(x, y)=\Phi(f(x,y))$, где $f(x, y)=x-y$, по компонентам $x$ или $y$, в зависимости от ситуации.

[alcoholist]

Какой $y$ тут напридумывали???
Ясно же написано: функция

falazure123 в сообщении #1147877 писал(а):

$\Phi (x) = \frac{1}{n (n-2) \omega_{n}}\cdot \frac{1}{|x|^{n-2}}$

и ее градиент надо вычислить. А в какой точке -- дело десятое.

falazure123 в сообщении #1147877 писал(а):

$\operatorname{grad} \Phi (x - y) = \frac{1}{n \omega_{n}} \cdot \frac{x-y}{|x-y|^n}$ . Куда тут девается минус?

Забыли на лекциях минус, наверное. Или этот минус там принципиален?

[falazure123]

alcoholist в сообщении #1148023 писал(а):

Какой $y$ тут напридумывали???
Ясно же написано: функция

falazure123 в сообщении #1147877 писал(а):

$\Phi (x) = \frac{1}{n (n-2) \omega_{n}}\cdot \frac{1}{|x|^{n-2}}$

и ее градиент надо вычислить. А в какой точке -- дело десятое.

falazure123 в сообщении #1147877 писал(а):

$\operatorname{grad} \Phi (x - y) = \frac{1}{n \omega_{n}} \cdot \frac{x-y}{|x-y|^n}$ . Куда тут девается минус?

Забыли на лекциях минус, наверное. Или этот минус там принципиален?

Вот как написано - так правильно. Минуса нет перед дробью. Там что-то промямлили 'минус на минус даёт плюс'.

[Brukvalub]

Прежде всего, нужно ответить на вопрос: "по каким переменным вычисляется градиент"? Есть надежда, что ответ на этот вопрос содержится в тексте, окружающем обсуждаемую формулу.