Сходимость в L2

[falazure123]

Есть функция $u \in H^{1}_{0} (a,b)$
Есть аппроксимирующая последовательность функций $\left\lbrace u_{k}\right\rbrace \in H^{1}_{0} (a,b)$, такая что $u_{k} \to u$ по норме в $H^{1}(a,b)$. То есть в частности $u_{k} \to u$ по норме в $L^{2}$

Плюс знаем, что $u_{k} \to v \in C([a,b])$ равномерно.

Как из этого следует, что $u = v$ почти всюду на $[a, b]$ ?

Ведь в $L^{2}$ норма - это интеграл. А в $C([a, b])$ норма - это максимум модуля функции на отрезке.

Либо я не так понял. А правильно понимать , что если есть равномерная сходимость, то есть и поточечная. Но при этом еще есть сходимость в смысле 'эль два'. Хотя всё равно как из такого следует равенство почти всюду на отрезке?

[demolishka]

А из равномерной сходимости следует сходимость в $L^2$? И сколько пределов может быть у сходящейся последовательности в $L^2$?

[falazure123]

ну то, что $u_{k} \to v$ равномерно означает
что для любого $\varepsilon > 0 $ существует номер $N_{\varepsilon}$ такой что $\forall n > N_{\varepsilon} и \forall x \in (a, b) $ выполняется $|u_{k} (x) - v(x)| < \varepsilon$

А то, что $u_{k} \to u$ в $L^{2}$ означает, что норма разности стремится к нулю, то есть:
$(\int\limits_{a}^{b}|u_{k} - u|^2)^{1/2} \to 0$

Ну вроде как из равномерной сходимости никак не следует сходимость в $L^2$

Ну предел по идее один только может быть. Хотя пространство $L^2$ - это пространство классов эквивалентных функций.

[mihaild]

falazure123 в сообщении #1146363 писал(а):

Ну вроде как из равномерной сходимости никак не следует сходимость в $L^2$

А вы просто выберите $\varepsilon$ и подставьте правую часть из определения равномерной сходимости в определение сходимости в $L^2$, учтя что $0 \leqslant f \leqslant g \Rightarrow \int f \leqslant \int g$. Что получится?

[falazure123]

mihaild в сообщении #1146365 писал(а):

falazure123 в сообщении #1146363 писал(а):

Ну вроде как из равномерной сходимости никак не следует сходимость в $L^2$

А вы просто выберите $\varepsilon$ и подставьте правую часть из определения равномерной сходимости в определение сходимости в $L^2$, учтя что $0 \leqslant f \leqslant g \Rightarrow \int f \leqslant \int g$. Что получится?

получится, что будет интеграл от малой константы. ну значит что да, из сходимости равномерной следует сходимость в $L^2$

-- 24.08.2016, 20:15 --

то есть получили, что последовательность сходится в смысле $L^2$ к двум функциям.
почему они равны почти всюду, а не просто равны?
из-за природы пространства $L^2$ ?

[mihaild]

falazure123 в сообщении #1146367 писал(а):

почему они равны почти всюду, а не просто равны?

Представьте, что $u_k = v = 0$ и $u$ - отличная от нуля функция, равная нулю почти всюду.
Будут ли выполнены условия задачи? Будут ли равны $u$ и $v$?

[falazure123]

с этим вроде разобрался.

такой вопрос возник
есть оператор вложения из пространства непрерывных функций в $L^2$
$i: C(\bar{\Omega}) \to L^{2}(\Omega)$, то есть
$i(u) = u$
$\Omega - открытое, ограниченное подмножество $R^n$
Почему такой оператор будет непрерывен? (ограничен).

надо получить же такое:
$\parallel i(u) \parallel_{2} \leqslant C \parallel u \parallel_{\infty}$

то есть, что $(\int\limits_{\Omega}^{}|u|^{2})^{1/2} \leqslant C \sup |u(x)|$

но я не понимаю как такое неравенство доказать

[Grabovskiy]

falazure123 в сообщении #1147171 писал(а):

Почему такой оператор будет непрерывен? (ограничен).

А вы ведь уже ответили на этот вопрос:

falazure123 в сообщении #1146367 писал(а):

из сходимости равномерной следует сходимость в $L^2$

[falazure123]

но тут же нет никаких последовательностей.
нужно показать, что оператор переводит ограниченное множество в ограниченное...

[mihaild]

falazure123 в сообщении #1147281 писал(а):

нужно показать, что оператор переводит ограниченное множество в ограниченное...

Непрерывный оператор - линейный оператор, являющийся непрерывной функцией. Для метрических пространств непрерывность по Коши и по Гейне эквивалентны.

[falazure123]

mihaild в сообщении #1147407 писал(а):

falazure123 в сообщении #1147281 писал(а):

нужно показать, что оператор переводит ограниченное множество в ограниченное...

Непрерывный оператор - линейный оператор, являющийся непрерывной функцией. Для метрических пространств непрерывность по Коши и по Гейне эквивалентны.

Оператор $i$ непрерывен, если для любой последовательности $\left\lbrace u_k \right\rbrace : u_k \to u $ следует, что $i(u_k) \to i(u)$

пусть у меня в пространстве непрерывных функций есть последовательность такая.
то есть $\sup |u_k - u| \to 0$
Значит они сходятся равномерно. А из сходимости равномерной следует сходимость в $L^2$
Значит оператор непрерывен.

Теперь верно?

[mihaild]

Да, при условии, что вы умеете доказывать такой критерий непрерывности.

[falazure123]

mihaild в сообщении #1148624 писал(а):

Да, при условии, что вы умеете доказывать такой критерий непрерывности.

умею только доказывать, что непрерывный оператор переводит слабосходящуюся последовательность в слабосходящуюся.

а для обычной сходимости не знаю...

[mihaild]

Приведите тогда для начала ваше определение непрерывного оператора (их много эквивалентных, и надо знать, от чего отталкиваться).

Из него, скорее всего, надо в первую очередь вывести $\|x_k\| \to 0 \Rightarrow \|Ax_k\| \to 0$. Дальше посмотреть на последовательность $Ax_k - Ax$ для $x_k \to x$.

[falazure123]

$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 ||x - x_0|| < \delta \Rightarrow ||Ax - Ax_0|| < \varepsilon$
непрерывность в точке.

другого вроде не было определения. доказывали только вот , что если непрерывен в нуле, то непрерывен на всём множестве