|
О представлении натуральных чисел в виде суммы
двух квадратов натуральных чисел.
В книге Энрике Грасиана « Простые числа» изд. Москва 2014г. на странице 44 написано: «… Утверждение, что любое число вида 4n плюс 1 является суммой двух квадратов было одним из многих результатов, которые Ферма так и не объяснил, и только Эйлер в 1749г. доказал этот факт после семи лет напряженной работы.»
Легко, однако, проверить, что для n равного 5 это утверждение не справедливо:
для n равного 5 4n плюс 1 равно 21 21 равняется x в квадрате плюс у в квадрате или 21 минус x в квадрате равняется y в квадрате,
проверяем для различных x: 21 минус 0 равняется 21, 21 минус1 равняется 20, 21 минус 4 равняется 17, 21 минус 9 равняется 12, 21 минус16 равняется 5.
Во всех случаях разность не является квадратом и следовательно указанное утверждение не выполняется. То же самое можно сказать и о числе указанного вида
для n равного 8 оно равно 33.
Другими числами, которые могут быть представлены в виде суммы двух квадратов являются квадраты натуральных, называемые пифагоровыми тройками.
Для таких чисел можно предложить простой метод их вычисления.
По определению Z в квадрате равняется X в квадрате плюс Y в квадрате или
X в квадрате равняется Z в квадрате минус Y в квадрате, или X в квадрате равняется (Z минус Y) умножить на (Z плюсY),
Пусть X равно a умножить на b, тогда Z минус Y равно a и соответственно Z плюс Y равно b. Имеем систему двух линейных уравнений, решением которой являются Z равное a плюс Y и Y равное (b минус a) деленное на 2.
Теперь, выбрав X в квадрате и разложив его на возможные пары сомножителей, можно вычислить соответствующие Z и Y.
Например: Х равно 7, Х в квадрате равно 49, возможные разложения 1 умножить на 49 и 7умножить на 7.
Для первого разложения Yравно 48 разделить на 2равно 24 и Z равно 25, возведя в квадрат указанные числа,
625 минус 576 равно 49. Числа 7,24,25 образуют пифагорову тройку.
Для второго разложения Y равно 0 Zравно 7 и получаем нулевое решение 7 в квадрате равно 7 в квадрате минус 0 в квадрате.
Другой простой метод получения пифагоровых троек основан на использовании квадратичных шкал.
Описание метода
Создаются две идентичные шкалы неподвижная эталонная и подвижная, в определенных позициях которых, соответствующих квадратам последовательных натуральных чисел, начиная с нуля, наносятся метки ( в электронной версии в соответствующие позиции заносятся единицы, а в остальные нули.
Подвижная шкала сдвигается вправо относительно неподвижной на число, соответствующее квадрату проверяемому проверяемого числа Х.
Совпадение меток соответствует квадратам искомых Z и Y
Для демонстрации данного метода нетрудно построить его модель, для чего необходимо полоску бумаги в клеточку с нанесенными метками разрезать на две линейки, и указанным выше методом проверить совпадение меток для известных пифагоровых троек.
|
19.08.2016, 13:01 
