Определитель методом рекуррентных соотношений

[vitalijpavula]

Я занимаюсь самостоятельно по сборнику задач по высшей математике авторов Лунгу, Письменный. Все вроде бы и понятно, но есть и сложные пока для меня задачи. Я пока в математике слабоват. Вот такая задача мне попалась, надо найти определитель методом рекуррентных соотношений.

$$\begin{bmatrix} 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 4 & 5 & 2 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 & 2 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 3 \end{bmatrix}$$

$ D_n=(-1)^2 \cdot 5 \cdot D_{n-1}+(-1)^{1+2} \cdot6 \cdot D_{n-1}=(-1)^4 \cdot 25 \cdot D_{n-2}+(-1)^3 \cdot 2 \cdot (-1)^2 \cdot D_{n-3}+(-1)^5 \cdot 24 \cdot D_{n-2}=25 \cdot D_{n-2}-24 \cdot D_{n-2}-2 \cdot D_{n-3} $Я возился с этим примером почти весь день. У меня получилось рекуррентное уравнение
$ D_n=D_{n-2}-2D_{n-3} $ что не совпадает с ответом в книге: $ 9-2^{n+1} $Подскажите, где я ошибаюсь?

[DeBill]

vitalijpavula
А можете Вы описать словами - что это у Вас за матрица $D_n$ ?
Или это обозначение для всех матриц размера $n$ ?

[maxmatem]

DeBill
Смею предположить, что $D_n$ это определитель исходной матрицы.

Хотя ТС виднее.

[DeBill]

Или таки это матрица, в которой в первой строке - 5,6,
во второй - 4,5,2, а уж дальше - 1,3,2 - ползущие....
А у Вас - разве так будет при разложении?

(Оффтоп)

А ваще - разлагайте по последней строке....

[vitalijpavula]

Это обозначение определителя n-го порядка. У меня получились правильные значения для $ D_{1,2,3...6} $: 5,1,-7,-23,55,-119

-- 16.08.2016, 20:55 --

Проблема с составлением правильного рекуррентного уравнения

[DeBill]

vitalijpavula в сообщении #1144584 писал(а):

Это обозначение определителя n-го порядка.

Об чем и речь: это обозначение для определителя $n$-го порядка ЛЮБОЙ матрицы, или таки матрицы специального вида? Если - второе, то - какого вида? Сохранится ли этот самый вид после отбрасывания первой строки и первого столбца? А - последних?

[vitalijpavula]

скорее всего надо начинать разложение с последних строк и столбцов, я проверил по формуле если начинать с первой строки и столбца, то соотношения не сходятся с формулой определителя которая в книге, спасибо что навели на мою возможную ошибку. Уже ближе к ответу.

[Otta]

Но, мне кажется, это вполне логично: если раскладывать по первой (строке/столбцу), не удастся выразить через определитель того же вида, но меньшего порядка.

[DeBill]

vitalijpavula
Да пожалуйста. Вот только слова о "возможной" ошибке, и ссылки на то, что, мол, если делать так, то правильный ответ не получается - наводят на мысль, что ошибку то свою - и грубую - Вы таки не осознали. Что не есть хорошо....

[vitalijpavula]

ну, что плохого в этом, вот я бы и сидел с этим примером еще пару битых часов, но так и не догадался бы, скорее всего и бросил бы этот пример так и не доделав его до конца, потом перешел бы на следующий.. но на ошибках и учатся. В книге много чего есть, я уже прорешал около сотни простеньких.

[vitalijpavula]

Получилось! Уравнение такое $ D_{n}=3D_{n-1}-2D_{n-2}=-2\cdot2^{n}+9, D_{1}=5, D_{2}=1$