Экстремальные задачи

[Ulya]

В какой книжке описываются методы и примеры решения задачи такого вида (полагаю через первое приращение делается?).У меня есть книги Васильева.Диф. и интегр. исчисления, Краснов.Макаренко.Вариационное исчисление, но я там не нашла методики решения таких задач.ВОт примеры:

$$ \begin{array}{l} \int\limits_0^1 {(\dot y^2 + y)dx} \to extr,y(0) = 1; \\ \int\limits_0^{x_1 } {(\dot y^2 + y)dx} \to extr,y(0) = x_1 ; \\ \int\limits_0^{x_1 } {(\dot y^2 + y)dx} \to extr,y(0) = 0,y(x_1 ) = \xi = const; \\ \int\limits_0^T {(\dot y^2 + y + 2)dx} \to extr,y(0) = 0,3T^2 y(T) = 1; \\ \end{array} $$

[Brukvalub]

http://lib.mexmat.ru/books/2545
Будылин А.М. — Вариационное исчисление
Гельфанд И.М., Фомин С.В. — Вариационное исчисление
http://www.newlibrary.ru/author/budylin_a_m_.html

[Ulya]

Все бы хорошо, но там почти одна теория. Моих примеров вообще нет (

[Brukvalub]

Могу предложить еще почитать вот это: http://foroff.phys.msu.ru/intur/ (там разобраны примеры)

[Ulya]

Там в каждом параграфе по 1 примеру. И взяты по-моему они из Эльсгольца. Дифференциальнгое и интегральное исчисление.
Особо примечательного там нет ;(

[Brukvalub]

Я сам регулярно веду семестровый курс по Классическому вариационному исчислению - читаю лекции и веду упражнения. Так вот, этой книжки: http://lib.mexmat.ru/books/2545 всегда хватало для подготовки даже самым слабым и бездельным студентам. Так что дальше играйте в принцессу на горошине без меня....

[Zo]

попробуйте еще здесь http://lib.mexmat.ru/books/24974 посмотреть

[Ulya]

Ну например на последнюю задачу я нигде не нашла решения ((

[Brukvalub]

Это обычная задача с подвижным концом, в книге http://lib.mexmat.ru/books/2545 такие примеры разобраны.

[Ulya]

А те задачи, котоыре приведены, каким методом решать:
1) Через первое приращение?
2) Через условие трансверсальности
3) Методом Лагранжа?

[Brukvalub]

Метод Лагранжа решает все эти задачи, но проще для каждого типа задач использовать упрощенную соответственно задаче модификацию этого метода.

[Ulya]

А что за модификация этого метода?

Добавлено спустя 45 минут 16 секунд:

См. как я решаю 3 задачу:
Уравнение Эйлера:

$$ 1 - 2 \lambda_0 y'' = 0, \lambda_0 = 1, y = x^2/4 +C_1 x+ C_2, y(0)=0, y = x^2/4 + C_1 x $$

Осталось найти $C_1,x_1,\xi$.
Терминанта $l = \lambda_1 y(0) + \lambda_2 (y(x_1) - \xi)$. Тогда

$$ l_{y(0)} = \lambda_1 = 2 C_1 = L_{y'}(0), l_{y(x_1)} = \frac{\lambda_2}{\xi} = -x_1 - 2C_1 = L_{y'}(x_1). $$

А как быть дальше?

[Brukvalub]

Ulya писал(а):

А что за модификация этого метода?

В простейшей задаче КВИ не нужны условия трансверсальности и стационарности, в задаче Больца не нужны условия стационарности, но они нужны в задаче с подвижным концом, и т.д. А схема решения общей задачи Лагранжа универсальна, но, из-за своей универсальности, довольно громоздка.

[Ulya]

Вот громоздкость и пугает. Так вот как эти 2 последние задачи решить лучше?

[Brukvalub]

Ulya писал(а):

А как быть дальше?

Написать условие стационарности на подвижном конце.

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

Ulya писал(а):

Вот громоздкость и пугает. Так вот как эти 2 последние задачи решить лучше?

По схеме решения задачи с подвижным концом.