Максимальное количество положительных корней в области.

[Shadow]

TR63, запишите условие задачи четко и ясно.
Я его понял так: Не существуют положительные $(t,k)$, такие что

TR63 в сообщении #1143781 писал(а):

$4kt^3-t^2-18kt+27k^2+4=0$

[TR63]

В уравнении

$4kt^3-t^2-18kt+27k^2+4=0$

t-переменная(положительная)
k-фиксированный параметр(положительный).

Требуется найти такой положительный параметр (k), при котором уравнение имеет два различных положительных корня.

Shadow, прошу, если Вам известен такой пример, обязательно сообщите, чтобы развеять мои сомнения по этому поводу.
Я не исключаю возможности существования такого примера, поскольку детального исследования на соответствие моей гипотезе не проводила. А, контрпример исключит такую необходимость (разве что проверить, всё ли соответствует гипотезе).

[Shadow]

$k=\dfrac{4\sqrt 6}{9}-1$

-- 13.08.2016, 13:30 --

$k=\dfrac 1 9$

[TR63]

Shadow, понятно. Спасибо большое.

[TR63]

TR63 в сообщении #1143781 писал(а):

Запишем следствие из числа перемен знака в виде: "Для данного класса уравнений существуют как уравнения без положительных корней, так и уравнения с двумя положительными корнями". Получим противоречие, поскольку тогда уравнение

$t^2+18kt-(4t^3+27k^2+4)=0$

будет иметь ровно один положительный корень, если его рассматривать как квадратное. Что следует из противоречия?

Заметила, что вывод, сделанный мной из полученного противоречия некорректен. Требуется уточнение.
По условию $0<k<\infty$
Что же следует из противоречия? Можно так? Если при $\alpha<k<\infty$ количество корней неизменно, то в области $0<k<\alpha$ количество корней тоже неизменно. Другими словами, если в области не было нормального делителя, то в результате противоречия он появляется.
Пояснение. отсутствие нормального делителя означает:

TR63 в сообщении #1143781 писал(а):

Для данного класса уравнений существуют как уравнения без положительных корней, так и уравнения с двумя положительными корнями".

Причём существуют они неупорядоченно по параметру (k) (хаотично). В результате противоречия существует $k=\alpha$, левее и правее которого количество корней не изменяется.
Если это корректно сформулировано (не считая идеи "метода"), то можно будет продолжить далее. Возможно, всё сойдётся и контрпримера не будет, не будет и контрпримера Shadow
. Но не буду бежать впереди паровоза.

[TR63]

Всё-таки, думаю, что следствие из противоречия сформулировано ещё некорректно. Новая версия.
По условию $0<t<\infty$. Считаем, что по переменной (t) должен быть нормальный делитель (его тип будет понятен из дальнейшего). Допустим, что его нет. Получаем противоречие, т.е. существует нормальный делитель такой, что количество корней $t\le \beta$ не больше единицы. Здесь $\beta$ нормальный делитель: левее его количество положительных корней не больше единицы. (Если бы было ноль или два, то это уже не нормальный делитель, т.к. имеется нарушение непрерывности в порядке следования)
В примерах Shadow количество корней меньших 2 равно единице. Это, как раз тоже, наряду с нулевым количеством, решает задачу из "Олимпиадного" раздела полу устно.
Теперь в качестве контрпримера надо найти уравнение, в котором количество корней меньших 2, больше единицы.

[Xaositect]

Я лично не могу понять, как конкретно Вы рассматриваете уравнение как квадратные и что Вы называете нормальным делителем. Сформулируйте гипотезу четко и с самого начала. Пусть есть многочлен от $x$ с параметром $k$, который представляется в виде $a(x, k) x^2 + b(x, k) x + c(x,k)$. При каких условиях Вы утверждаете единственность положительного корня?

[TR63]

Xaositect, согласна, что этот бред надо хотя бы упорядочить. Гипотеза у меня возникла, можно сказать, экспромтом, когда Вы нашли стандартное решение. Поэтому есть нестыковки. Сейчас у меня не будет компа. И я, как раз, подумаю над корректной формулировкой. Завтра, думаю, напишу ответ. Спасибо, что помогаете разобраться.

[TR63]

Рассмотрим уравнение

$f_1=x^n+a_1(x;k)x^{n-1}+...+a_n(x;k)=0$

Которое может быть приведено к виду

$f_2=a(x;k)x^2-b(x;k)x-c=0$

$(a;b;c)>0$

Будем рассматривать только те случаи, когда из количества перемен знака $f_1$ следует, что
1). $K(D^+(f_1))=(1;3)$ Эта запись означает, что количество положительных корней $f_1$ может быть 1 или 3. Других вариантов нет.

2). $K(D^+(f_1))=(0;2)$

Определение.
Пусть имеется последовательность элементов, в которой, если имеются последовательно повторяющиеся элементы, то из них можно оставить только один представитель.
Физическим нормальным делителем (ФНД) называется разбиение последовательности различных элементов на не пересекающиеся классы относительно какого-либо свойства.
Например.
$(+,+,+,-,-)\to(+,-)\to(+),(-)$ Здесь существует ФНД.

$(+,-,+)\to?$

Определение.
Скалярным нормальным делителем называется число, которое разбивает числовую последовательность без последовательно повторяющихся элементов на непересекающиеся классы относительно какого-либо свойства.

Гипотеза.
Если для $f_1$ существует какой-либо нормальный делитель, то $K(D^+(f_1))\le1$. В случае СНД требуется уточнение: положительных корней, меньших делителя.

Примеры.

1). Для исходного уравнения с положительными корнями не большими 1 существует ФНД (?). (Например: $(+,-;+,-)(+,-)\to(+,-)(+,-)\to(+),(-)$; здесь в первой скобке сигнатура перемен знака $f_1$, во второй сигнатура$f_2$. Значит $K(D^+(f_1))\le1$
2). Во второй задаче СНД является число $\beta=2$. (Почему? Надо подробнее рассмотреть эту задачу.) Значит, $K(D^+(f))\le1$ (корней меньших 2). И задача получает значительное упрощение.

Замечание.
Вопрос о количестве задействованных операций я ещё не рассматривала. (Думаю, там без проблем.)
Xaositect, остаётся указать ошибки, неточности (если будет возможно, постараюсь исправить) и найти контрпримеры.

[TR63]

Для второй задачи получается нестыковка. Если $k>\frac{4}{27}$, то, действительно, гипотеза подтверждается (используем для проверки стандартный метод, предложенный Xaositect).
Возможно, по второй переменной нужен тоже нормальный делитель. Надо подумать.
Остаётся найти контрпример для первого обобщённого случая.
Логически так и должно быть. Ведь случаи 1 и 2 диаметрально различны.

[TR63]

Действительно, при $k\le\frac{4}{27}$ имеется нормальный делитель СНД (дискриминант квадратного уравнения отрицателен; т. е. случай неинтересен; ещё надо проверить арифметику).
Позже, наверное, распишу решение второго примера (из "Олимпиадного" раздела) подробнее (вроде, всё сходится стандартно для, собственно, олимпиадной задачи при использовании идеи из уточнённой гипотезы).

-- 15.08.2016, 10:50 --

Если кому-то известен контрпример к первому случаю гипотезы, прошу сообщить.

[Xaositect]

TR63 в сообщении #1144114 писал(а):

Определение.
Пусть имеется последовательность элементов, в которой, если имеются последовательно повторяющиеся элементы, то из них можно оставить только один представитель.
Физическим нормальным делителем (ФНД) называется разбиение последовательности различных элементов на не пересекающиеся классы относительно какого-либо свойства.
Например.
$(+,+,+,-,-)\to(+,-)\to(+),(-)$ Здесь существует ФНД.

$(+,-,+)\to?$

Определение.
Скалярным нормальным делителем называется число, которое разбивает числовую последовательность без последовательно повторяющихся элементов на непересекающиеся классы относительно какого-либо свойства.

Не понимаю этих определелений. Как именно по последовательности знаков или чисел определить наличие делителя?

TR63 в сообщении #1144114 писал(а):

Гипотеза.
Если для $f_1$ существует какой-либо нормальный делитель, то $K(D^+(f_1))\le1$. В случае СНД требуется уточнение: положительных корней, меньших делителя.

$f_1$ - это многочлен, а нормальные делители Вы определяли для последовательностей (я не до конца понял, каких). Какая последовательность рассматривается?

[TR63]

Xaositect, согласна, что определение ФНД следует уточнять (оно ещё и не со всеми деталями, чтоб было понятнее). Деление на не пересекающиеся классы можно осуществить с помощью, например, запятой или непрерывной косой (прямой) чертой. (элементы последовательности могут быть разной природы ( деление производится относительно какого-либо свойства; это новое свойство и является собственно делителем), но обладать общим свойством). Попробуйте последовательность $(+,-,+)$ с помощью операции "," разбить на два не пересекающихся класса, содержащих только одинаковые элементы.
Пример. $\{2,3,4,5,6\}$. Эту последовательность можно разбить на два не пересекающихся класса относительно свойства $x\le4$$\{2,3,4\},\{5,6\}$. Здесь СНД относительно указанного свойства будет 4 (деление осуществляется при помощи свойства).

Xaositect в сообщении #1144173 писал(а):

$f_1$- это многочлен, а нормальные делители Вы определяли для последовательностей

Рассматриваются (если ищем СНД) корни многочлена при изменении параметра. Они располагаются на числовой прямой, образуя последовательность. Для неё ищется СНД относительно какого-либо свойства (согласна, что здесь необходимо откорректировать, но позже, сейчас нет времени)

[Lia]

TR63
Давайте в другом порядке, если не сложно. Сперва у Вас появится время, потом Вы откорректируете, потом еще раз проверите, а потом попросите проверить кого-то еще. Будет лучше всего, если Вы не будете вводить лишних сущностей, то есть понятий. Тех, что есть, должно быть вполне достаточно, чтобы сформулировать Ваше утверждение.

[Xaositect]

TR63 в сообщении #1144181 писал(а):

Xaositect, согласна, что определение ФНД следует уточнять (оно ещё и не со всеми деталями, чтоб было понятнее). Деление на не пересекающиеся классы можно осуществить с помощью, например, запятой или непрерывной косой (прямой) чертой. (элементы последовательности могут быть разной природы ( деление производится относительно какого-либо свойства; это новое свойство и является собственно делителем), но обладать общим свойством). Попробуйте последовательность $(+,-,+)$ с помощью операции "," разбить на два не пересекающихся класса, содержащих только одинаковые элементы.
Пример. $\{2,3,4,5,6\}$. Эту последовательность можно разбить на два не пересекающихся класса относительно свойства $x\le4$$\{2,3,4\},\{5,6\}$. Здесь СНД относительно указанного свойства будет 4 (деление осуществляется при помощи свойства).

Иными словами, последовательность знаков $(s_1, s_2, \dots, s_n)$ имеет делитель, если для некоторого $k < n$ первые $k$ знаков одинаковы, а остальные противоположны им, последовательность чисел $(a_1, \dots, a_n)$ имеет делитель относительного свойства $P$, если для некоторого $k < n$ свойство выполняется для первых $k$ чисел и не выполняется для остальных. Это понятно.

TR63 в сообщении #1144181 писал(а):

Рассматриваются (если ищем СНД) корни многочлена при изменении параметра. Они располагаются на числовой прямой, образуя последовательность. Для неё ищется СНД относительно какого-либо свойства (согласна, что здесь необходимо откорректировать, но позже, сейчас нет времени)

А зачем нам еще что-то делать, если мы уже нашли корни многочлена $f_1$? Нам же надо было найти их количество.