Максимальное количество положительных корней в области.

[TR63]

Задача. Дано уравнение:

$px^5-qx^3-px^2+0.5qx-\alpha=0$

Существуют ли $(p,q,\alpha)>0$, при которых уравнение имеет ровно три различных действительных положительных корня больших 1.

Попытка решения. Из трёх перемен знака следует, что количество положительных корней один или три. Возникла подозрительная идея, что таких трёх не может быть (с сомнительным, возможно, объяснением). Попробовала поискать на вольфраме. Не получается.
Помогите, пожалуйста, решить задачу.

[Xaositect]

1. Без ограничения общности можно взять $p = 1$.
2. Рассмотрите значения в точках $-1$ и $0$ и на $\pm \infty$.

[TR63]

$f(-\infty)<0$

$f(\infty)>0$

$f(0)<0$

$f(-1)=2+0.5q-\alpha$

Не понимаю, как выбрать параметры, чтобы получить нужные корни.

[Xaositect]

Не $2 + 0.5q - \alpha$, а $- 2 + 0.5q - \alpha$. Очевидно, выбирать надо так, чтобы было $-2 + 0.5q - \alpha > 0$.

[TR63]

Странно. Беру $p=1$, $q=8$, $\alpha=1$. Получается на вольфраме только один нужный корень, а не три. Если нужные корни в нужном количестве не существуют, то как это обосновать. Ваше обоснование мне не понятно.

[Xaositect]

TR63 в сообщении #1143241 писал(а):

Странно. Беру $p=1$, $q=8$, $\alpha=1$. Получается на вольфраме только один нужный корень, а не три. Если нужные корни в нужном количестве не существуют, то как это обосновать. Ваше обоснование мне не понятно.

У меня все получается: http://www.wolframalpha.com/input/?i=px ... 8,+a+%3D+1
Мое обоснование состоит в применении теоремы о промежуточном значении.

[Cash]

Xaositect, вопрос стоит о корнях, больших 1, как я понял.

[Xaositect]

Ой, извиняюсь, я совершенно пропустил это условие.

[Cash]

$f'\left(\frac12\right)<0$.
Поэтому, если $f(x)$ имеет три корня, то один из них точно должен быть меньше $\frac12$

[TR63]

Итак, с постановкой задачи разобрались.
Xaositect, Ваша идея может оказаться небесполезной для гипотетического решения задачи, но нужно условие отсутствия пяти действительных корней.( На основании одного частного случая ничего утверждать нельзя. И я этого нигде и никогда не говорила.) Правда, меня интересует строго стандартное решение задачи. У меня есть стандартное решение, но я в нём сомневаюсь.

Cash, спасибо (по поводу $f'(\frac1 2<0)$. Всё понятно.

Но думать над гипотетическим решением не хочется. Требуется стандартное решение, т.к. это всего лишь тактическая задача. (Если моё решение окажется верным, то будет очень интересно в стратегическом плане для решения другой задачи.)

[Xaositect]

А, тут достаточно правила знаков. Рассмотрим многочлен $f(z + 1) = p z^5 + 5p z^4 + (10p - q) z^3 + (9p - 3q) z^2 + (3p - 2.5q)z + (-\alpha - 0.5q)$. У его коэффициентов может быть только одна перемена знака (в разных местах в зависимости от $q$). То есть положительных корней $z$ (которые соответствуют $x>1$) ровно 1.

[TR63]

Xaositect, идея красивая и сомнений не вызывает. (Надо подумать, можно ли применить её для обобщенной задачи.) Спасибо.

Остаётся проверить, верно ли моё решение.

$p(x^3-1)x^2-q(x^2-\frac1 2)x-\alpha=0$.

Я рассматриваю это уравнение как параболическое (квадратное). И делаю вывод: раз квадратное имеет один положительный корень в заданной области, то исходное также имеет один положительный корень в этой области.
Если так делать нельзя, то хотелось бы пояснений на контрпримере аналогичного уравнения (т.е. коэффциенты в квадратном уравнении должны быть положительными функциями в заданной области).

[TR63]

С помощью такого "метода" непростые задачки из "Олимпиадного" раздела щёлкаются как семечки. Например, вот такая:

Доказать, что при положительных (k,t) уравнение

$4kt^3-t^2-18kt+27k^2+4=0$

не имеет положительных корней.

Решение.

Запишем следствие из числа перемен знака в виде: "Для данного класса уравнений существуют как уравнения без положительных корней, так и уравнения с двумя положительными корнями". Получим противоречие, поскольку тогда уравнение

$t^2+18kt-(4t^3+27k^2+4)=0$

будет иметь ровно один положительный корень, если его рассматривать как квадратное. Что следует из противоречия? Из противоречия следует, что возможен всегда только один из вариантов: либо первый, либо второй. Какой? Для выяснения достаточно провести только один численный эксперимент. Пусть $k=1$ тогда

$4t^3-t^2-18t+31=0$

не имеет положительных корней. Следовательно исходное уравнение не имеет положительных корней.
Идею стандартного доказательства можно почерпнуть в "Олимпиадном разделе" плюс небольшое стандартное дополнение. В общем, жуть.
Там же есть и другая (ещё нерешённая; не моя) задача, которая данным "методом" решается полу устно.
Думаю, что, по крайней мере, таким "методом" можно составлять задачи и контрпримеров не будет. Останется лишь искать стандартное решение.

[Shadow]

TR63 в сообщении #1143320 писал(а):

Доказать, что при положительных (k,t) уравнение

$4kt^3-t^2-18kt+27k^2+4=0$

не имеет положительных корней.

Увы, имеет.

TR63 в сообщении #1143320 писал(а):

тогда уравнение

$t^2+18kt-(4t^3+27k^2+4)=0$

будет иметь ровно один положительный корень, если его рассматривать как квадратное

Относительно какой переменной уравнение квадратное?

[TR63]

t-переменная
k-параметр
Shadow, приведите, пожалуйста, этот контрпример (уточнение: корни должны быть различны).