Геометрический смысл операций с матрицами

[trfnvaleksandr]

Всем доброго времени суток!

Возникла необходимость решать задачи, связанные с вопросами линейной алгебры. Чтобы лучше понимать смысл некоторых преобразований, я решил разобраться в их геометрическом смысле. В ходе изучения материала была создана данная тема.

У меня возник следующий вопрос: в чем заключается геометрический смысл транспонирования матриц? Чем (с геометрической точки зрения) будут различаться результаты следующих преобразований:

$$ y_1 = A \cdot x$$

и

$$ y_2 = A^T \cdot x$$

Также интересно будет узнать, каким образом можно трактовать матрицу с точки зрении геометрии и как можно применять данные трактовки на практике.

Спасибо!

-- 29.07.2016, 17:33 --

Прошу прощения, я не очень силён в методологии построения курсов по математике, но, возможно, есть какие-либо источники, в которых вопросы линейной алгебры обсуждаются с "уклоном в геометрическую сторону"?

[NSKuber]

trfnvaleksandr в сообщении #1140832 писал(а):

У меня возник следующий вопрос: в чем заключается геометрический смысл транспонирования матриц?

Боюсь, вы его не найдёте: в общем случае транспонированный (сопряжённый) оператор действует в обратную сторону, то есть если $A$ действует из пространства $U$ в $V$, то $A^T$ действует из $V$ в $U$. В конечномерном случае линейные операторы представляют матрицами, и транспонирование матрицы оператора даёт матрицу транспонированного оператора. Ну а если $U$ и $V$ совпадают (в данном случае - $\mathbb{R}^n$), можно транспонированным оператором (матрицей) действовать на те же векторы, что и обычным.

[Metford]

Может быть это не совсем то, что Вам нужно, но мало ли...
Как тут уже сказали, матрицы соответствуют линейным операторам. Эти операторы могут задавать преобразование плоскости (я специально о частном случае говорю). Ну, пусть будет матрица поворота, например,

$$\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}.$$

Транспонируйте эту матрицу - и получите поворот в противоположную сторону. Но есть другие операции (вроде растяжения вдоль координатных осей), к транспонированию "нечувствительные". В общем, это такой сильно частный случай, показывающий возможное проявление транспонирования.

А вообще, не знаю, насколько целесообразно искать такой прямой непосредственный геометрический смысл в этой процедуре.

[Anton_Peplov]

Это как раз тот случай, когда отрицательный результат - тоже результат. Если прямого геометрического смысла в процедуре нет, полезно расстаться с иллюзией, что он есть, это углубляет понимание предмета.
Вообще тему горячо поддерживаю, потому что при изучении линейной алгебры у меня тоже вопросы о геометрическом смысле или отсутствии оного возникают пачками.

[Metford]

Так вот в том-то и дело, что иногда такие вот геометрические интерпретации выясняются далеко не сразу. Бывает, что в каком-нибудь месте неожиданно возникает возможность иллюстрации. Просто, на мой взгляд, не нужно прямо-таки гоняться за ними.

[Munin]

В принципе, любую матрицу можно разложить на произведение двух: одна "поворачивающая", а другая "растягивающая вдоль осей". При транспонировании одна начинает "поворачивать в обратную сторону", а другая остаётся сама собой. Ну и их порядок, разумеется, меняется.

[Metford]

trfnvaleksandr, мне в своё время была полезна книга П.С. Александрова "Лекции по аналитической геометрии". Там такие моменты, связанные с преобразованиями, рассматриваются очень подробно и ясно. Посмотрите, если интересно.

[Anton_Peplov]

Metford в сообщении #1140850 писал(а):

Просто, на мой взгляд, не нужно прямо-таки гоняться за ними.

Проблема в том, что у меня, например, мотивация запоминать громоздкие правила обращения с упорядоченными наборами из $m \times n$ чисел сильно зависит от того, понимаю ли я, откуда эти правила взялись, почему они такие, какие есть, и для чего они полезны.

[Metford]

Anton_Peplov, могу Вас понять. Меня подобные вопросы о происхождении тех или иных правил нередко загоняли в математические вопросы, которые моих однокурсников совершенно не интересовали.
Моя фраза была связана с тем, что правило правилу рознь. Есть, ну не знаю... определитель, у которого с геометрическим смыслом всё хорошо - и этот смысл потом много где эксплуатируется. А вот для транспонирования матрицы - не скажу, что пришлось прямо-таки задумываться, чтобы пример геометрический привести - но его универсальность, мягко говоря ограничена. Где-то геометрическая интерпретация прекрасна и полезна, а где-то... В общем, просто прекрасна

[Anton_Peplov]

Metford в сообщении #1140858 писал(а):

определитель, у которого с геометрическим смыслом всё хорошо

Это Вы про (ориентированный) объем построенного на векторах многогранника?

[Metford]

Anton_Peplov в сообщении #1140863 писал(а):

Это Вы про (ориентированный) объем построенного на векторах многогранника?

Да-да, про него самого.

[Xaositect]

Геометрический смысл транспонирования связан с двойственными пространствами.
Если у нас есть оператор $F \colon V\to W$, то можно определить сопряженный оператор $F^* \colon W^* \to V^*$ следующим образом: $\left< F^* f, v \right> = \left< f, Fv \right>$ (я обозначаю $\left<,\right>$ спаривание ковектора и вектора). Геометрически ковектор - это измеритель того, насколько вектор перемещает нас вдоль какого-то одного направления, не обращая внимание на другие. И если у нас есть оператор $V\to W$, и способ измерять векторы в $W$, то можно перенести эти измерения на $V$.

Если выбрать базисы в $V$ и $W$, то в $V^*$ и $W^*$ определяются двойственные базисы, и матрица $F^*$ в этих двойственных базисах будет транспонированной матрицей оператора $F$ в исходных.

-- Пт июл 29, 2016 18:35:08 --

Munin в сообщении #1140851 писал(а):

В принципе, любую матрицу можно разложить на произведение двух: одна "поворачивающая", а другая "растягивающая вдоль осей".

Это неправда. Либо имелось в виду QR, и тогда вторая матрица не "растягивающая", а "скашивающая", либо имелось в виду SVD, и тогда "поворачивающих" матриц две.

[g______d]

Я думаю, имелось в виду полярное разложение.

[Munin]

Да, похоже, что полярное. Но я не профессионал в них, увы...

[ewert]

Полярное, естественно. Просто неудачная была формулировка: "растягивающая вдоль осей". Это можно понять как вдоль исходных осей, хотя имелось в виду, конечно, вдоль хоть каких-то (но взаимно ортогональных).