Комбинаторика, простая задача

[trarbish]

Добрый день!

Есть следующая задача. В отделе есть 4 женщины и 10 мужчин. Сколькими способами можно составить группу из трех человек при условии, что в группе должна быть одна женщина.

Сначала я решил задачу таким образом. По формуле сочетаний, 3 человека из 14 можно собрать 364 способами. Затем вычитаем все возможные комбинации из трех мужчин (3 из 10), это равно 120. В итоге получается 244.

Но вот если решать иначе. По условию в группе из трех человек всегда должна быть одна женщина. Остальные два человека могут быть выбраны как угодно. 2 человека из 13 человек (поскольку одна женщина уже выбрана) можно выбрать 78 способами. Первая женщина могла быть выбрана 4 способами. Тогда 78 умножаем на 4 получаем 312.

Первый вариант решения правильный. Во втором решении я не понимаю, где делаю ошибку.

[AV_77]

Пусть женщины это $a$, $b$, $c$ и $d$. Выберем сначала $a$, а затем выберем пару из женщины $b$ и какого-нибудь мужчины $x$. Затем выберем женщину $b$ и пару из женщины $a$ и мужчины $x$.

[trarbish]

AV_77 в сообщении #1140519 писал(а):

Пусть женщины это $a$, $b$, $c$ и $d$. Выберем сначала $a$, а затем выберем пару из женщины $b$ и какого-нибудь мужчины $x$. Затем выберем женщину $b$ и пару из женщины $a$ и мужчины $x$.

А, получаются одинаковые комбинации, спасибо. А можно как-то посчитать их количество, чтобы потом их вычесть из 312?

[--mS--]

trarbish в сообщении #1140516 писал(а):

Первый вариант решения правильный.

И первый вариант тоже неправильный. Наборов, где две или три женщины, быть не может?

[trarbish]

--mS-- в сообщении #1140565 писал(а):

И первый вариант тоже неправильный. Наборов, где две или три женщины, быть не может?

Почему не может? Может. Я поэтому отнял только варианты, когда группа из трех человек состоит полностью из мужчин.

[Otta]

trarbish
Я думаю, --mS-- имела в виду проблему всех времен и народов )) : одна - это ровно одна или хотя бы одна?

Вы интерпретируете как "хотя бы", а стоило бы все-таки иначе. Но по мне, это не страшно - главное, Вы в принципе понимаете, что делаете и что именно считаете.

[trarbish]

Otta в сообщении #1140592 писал(а):

trarbish
Вы интерпретируете как "хотя бы", а стоило бы все-таки иначе. Но по мне, это не страшно - главное, Вы в принципе понимаете, что делаете и что именно считаете.

Да, вы правы, не уточнил важную деталь в первом посте. Нужно было написать "что в группе должна быть как минимум одна женщина".

А на счет второго решения, легко ли посчитать все совпадающие группы? Или там только в лоб перебором можно посчитать?

[Otta]

trarbish в сообщении #1140600 писал(а):

А на счет второго решения, легко ли посчитать все совпадающие группы?

Да легко, конечно. Только считать надо не "берем женщину, добираем остальных как попало" - так Вы обязательно обсчитаетесь, а группы, состоящие из такого-то количества женщин и такого-то количества мужчин. Для определенности. Это гораздо проще и шанс ошибиться меньше. Таких групп (подходящих, но с разным численным составом женщин) несколько. Вот их и сосчитайте.

[--mS--]

trarbish в сообщении #1140600 писал(а):

А на счет второго решения, легко ли посчитать все совпадающие группы?

Легко, если очень хочется. Если в группе одна женщина, то такие комбинации встречаются ровно один раз. Если в группе две женщины, то эти комбинации встречаются ровно дважды в зависимости от того, какая из женщин выбрана первой. Таких лишних комбинаций $60$ штук. Если в группе $3$ женщины, то такие комбинации встречаются трижды, соответственно лишних два раза по $4$ штуки. Итого $68$ лишних.