rotozeevОй, так это все серьезно? Прошу прощения за ..... Но, блин, эти ваши физические штучки математика могут до инфаркта довести
Видимо, у нас идет речь об отображении

, которое последовательности

ставит в соответствие функцию

. Видимо,

действует из

в

(но все - комплекснозначное). Поскольку оба пространства - линейные (и гильбертовы), то, видимо, используется стандартные отождествления пространства и касательного пространства (и сопряженного к нему).
Тогда: отображение

, которое элементу

ставит в соответствие ЧИСЛО

(

сейчас фиксировано) есть композиция

, где

ставит в соответствие функции

ее значение

в точке

. Поэтому, по правилу дифф-я сложной функции (цепное правило),

(т.к. все отображения линейны, и все касат. пр-ва отождествлены, то точки, в которых взяты производные, можно опустить. Т.е., стандарт: дифференциал линейного отображения совпадает с ним самим). Наконец, в линейном пространстве

используется стандартный базис из экспонент, с коэф-тами. Элемент касательного пространства

(приращение ф-ции

) разлагается по тому же базису . Отождествление пространства и ему сопряженного в гильбертовом пространстве делается через скалярное произведение (которое - в случае

и есть наш интеграл:

). Вот в результате и получилось первое равенство. Второе следует из (последней) формулы (13) (и даже звездочка - на месте).
(Оффтоп)
И - извините еще раз за непонимание.
(Оффтоп)
Ой, была опечатка в формуле для производной - порядок не тот. Исправил