Преобразование производной к функциональной производной

[rotozeev]

Доброго дня!

Справедлива ли следующая формула?

Пусть у нас есть функция двух переменных $y_s = f(x,s)$

Тогда, частная производная по $x$ может быть выражена вот так:

$\dfrac{\partial}{\partial x} = \int ds \dfrac{\partial y_s}{\partial x}\dfrac{\delta}{\delta y_s}$

Если да, то как лучше всего для себя уяснить данное выражение?

Верно ли нижеследующее грубое рассуждение?

Пусть переменная $s$ для начала будет дискретна. Тогда, если у нас есть некая функция $G = G(x, t)$ от которой мы изначально и хотели брать производную, то она может быть выражена через $y_s$ вот так: $G = G(y_1, y_2, \dots , y_s, \dots, t)$.

И производная берется как от сложной функции:
$\dfrac{\partial G}{\partial x} = \dfrac{\partial y_1}{\partial x}\dfrac{\partial G}{\partial y_1} + \dfrac{\partial y_2}{\partial x}\dfrac{\partial G}{\partial y_2} + \dots $

И при переходе от суммы к интегралу получим нужную формулу.

На данном этапе все это "объяснение" выглядит ужасно нелепым, я сам не могу объяснить почему это $G$ должна зависеть от всех $y_s$, как конкретно при переходе от суммы к интегралу возникает вариационная производная. Но может быть есть книжка, где помимо всяких брахистохрон будут рассмотрены вот такие финты?

[DeBill]

rotozeev в сообщении #1139789 писал(а):

это "объяснение" выглядит ужасно нелепым

А вот это как раз верно....Но все остальное - нет.

[Munin]

rotozeev
Боюсь, вы не с того конца начали. Вы, случайно, не теоретическую механику читаете?

Если смотреть на это математически, то выражение типа

rotozeev в сообщении #1139789 писал(а):

И производная берется как от сложной функции:
$\dfrac{\partial G}{\partial x} = \dfrac{\partial y_1}{\partial x}\dfrac{\partial G}{\partial y_1} + \dfrac{\partial y_2}{\partial x}\dfrac{\partial G}{\partial y_2} + \dots $

подразумевает, что на самом деле есть два отображения: $y\colon\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}^n,\quad g\colon\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R},$ и окончательное отображение есть композиция: $G=g\circ y.$ Обозначать $G$ и $g$ одной буквой - вольность именно физиков, а математики предпочитают тут сохранять чёткие различия. (Для физиков, вообще, "буква функции" больше значит не функцию саму по себе, а физическую величину, которая этой функцией вычисляется.)

Тогда это выражение пишется как
$\dfrac{\partial G}{\partial x}=\Bigl(\dfrac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^1\Bigl(\dfrac{\partial g}{\partial y}\Bigr)_1+\Bigl(\dfrac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^2\Bigl(\dfrac{\partial g}{\partial y}\Bigr)_2+\ldots=\sum\limits_i\Bigl(\dfrac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^i\Bigl(\dfrac{\partial g}{\partial y}\Bigr)_i$
Обратите внимание, что справа символа $G$ не осталось вообще.

Такое преобразование нельзя воспринимать как выражение для частной производной $\dfrac{\partial}{\partial x}.$ Здесь существеннейше использовано то, что $G$ - композиция. Если бы вместо данной композиции были бы какие-то другие функции: $\eta\colon\mathbb{R}\mapsto M,\quad \gamma\colon M\mapsto\mathbb{R},\quad G=\gamma\circ\eta,$ то и выражение было бы совсем другим. Это же относится и к вашему первоначальному выражению. Оно некорректно само по себе, а требует применения к некоторой композиции $\mathcal{G}\circ y,$ где $\mathcal{G}$ - функционал (функция от функции).

$\dfrac{\delta}{\delta y_s}$ называется функциональной производной, предмет - функциональный анализ, подраздел - вариационное исчисление (иногда излагается отдельно). Также полезно познакомиться с анализом на многообразиях.

[rotozeev]

Munin в сообщении #1139810 писал(а):

rotozeev
Боюсь, вы не с того конца начали. Вы, случайно, не теоретическую механику читаете?

Нет, это про открытые квантовые системы. А конкретно, вот этот кусочек статьи ( http://www.rmki.kfki.hu/~diosi/prints/1 ... 35p569.pdf ):


По идее, это все просто, но я не могу уловить то, как здесь использовано chain rule, которое писалось нами выше. Я нашел в учебнике по функциональному анализу chain rule для функциональных производных, может быть это оно имелось в виду - пока непонятно.

[Munin]

rotozeev в сообщении #1139979 писал(а):

я не могу уловить то, как здесь использовано chain rule

Вроде, вы как раз всё правильно уловили. Да, всё аналогично конечномерному случаю.

Самое близкое, что я нашёл, вот:
https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_derivative#Properties
Вроде бы, то, что нужно, но слишком много дельт, что-то там на \partial упростить ещё можно.

И никакого вывода не даётся, но в конце ссылки на литературу.

[DeBill]

rotozeev
Ой, так это все серьезно? Прошу прощения за ..... Но, блин, эти ваши физические штучки математика могут до инфаркта довести

Видимо, у нас идет речь об отображении $F$, которое последовательности $a=(a_1, a_2, ...)$ ставит в соответствие функцию $Z_a(t)$. Видимо, $F$ действует из $l_2$ в $L_2 (\mathbb{R})$ (но все - комплекснозначное). Поскольку оба пространства - линейные (и гильбертовы), то, видимо, используется стандартные отождествления пространства и касательного пространства (и сопряженного к нему).
Тогда: отображение $z$, которое элементу $a$ ставит в соответствие ЧИСЛО $Z_a(t)$ ($t$ сейчас фиксировано) есть композиция $q\circ F$, где $q$ ставит в соответствие функции $x \in L_2$ ее значение $x(t)$ в точке $t$. Поэтому, по правилу дифф-я сложной функции (цепное правило), $z' = q' \circ F'$ (т.к. все отображения линейны, и все касат. пр-ва отождествлены, то точки, в которых взяты производные, можно опустить. Т.е., стандарт: дифференциал линейного отображения совпадает с ним самим). Наконец, в линейном пространстве $L_2$ используется стандартный базис из экспонент, с коэф-тами. Элемент касательного пространства $\delta Z_a(.)$ (приращение ф-ции $Z_a(.)$) разлагается по тому же базису . Отождествление пространства и ему сопряженного в гильбертовом пространстве делается через скалярное произведение (которое - в случае $L_2$ и есть наш интеграл: $(f,g) = \int\limits_{}^{} f(s)\cdot g^{\ast}(s)ds $). Вот в результате и получилось первое равенство. Второе следует из (последней) формулы (13) (и даже звездочка - на месте).

(Оффтоп)

И - извините еще раз за непонимание.

(Оффтоп)

Ой, была опечатка в формуле для производной - порядок не тот. Исправил