2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Преобразование производной к функциональной производной
Сообщение24.07.2016, 02:38 
Аватара пользователя


16/07/10
141
Украина/Харьков
Доброго дня!

Справедлива ли следующая формула?

Пусть у нас есть функция двух переменных $y_s = f(x,s)$

Тогда, частная производная по $x$ может быть выражена вот так:

$\dfrac{\partial}{\partial x} = \int ds \dfrac{\partial y_s}{\partial x}\dfrac{\delta}{\delta y_s}$

Если да, то как лучше всего для себя уяснить данное выражение?

Верно ли нижеследующее грубое рассуждение?

Пусть переменная $s$ для начала будет дискретна. Тогда, если у нас есть некая функция $G = G(x, t)$ от которой мы изначально и хотели брать производную, то она может быть выражена через $y_s$ вот так: $G = G(y_1, y_2, \dots , y_s, \dots, t)$.

И производная берется как от сложной функции:
$\dfrac{\partial G}{\partial x} = \dfrac{\partial y_1}{\partial x}\dfrac{\partial G}{\partial y_1} + \dfrac{\partial y_2}{\partial x}\dfrac{\partial G}{\partial y_2} + \dots $

И при переходе от суммы к интегралу получим нужную формулу.

На данном этапе все это "объяснение" выглядит ужасно нелепым, я сам не могу объяснить почему это $G$ должна зависеть от всех $y_s$, как конкретно при переходе от суммы к интегралу возникает вариационная производная. Но может быть есть книжка, где помимо всяких брахистохрон будут рассмотрены вот такие финты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование производной к функциональной производной
Сообщение24.07.2016, 07:38 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
rotozeev в сообщении #1139789 писал(а):
это "объяснение" выглядит ужасно нелепым

А вот это как раз верно....Но все остальное - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование производной к функциональной производной
Сообщение24.07.2016, 10:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
rotozeev
Боюсь, вы не с того конца начали. Вы, случайно, не теоретическую механику читаете?

Если смотреть на это математически, то выражение типа
    rotozeev в сообщении #1139789 писал(а):
    И производная берется как от сложной функции:
    $\dfrac{\partial G}{\partial x} = \dfrac{\partial y_1}{\partial x}\dfrac{\partial G}{\partial y_1} + \dfrac{\partial y_2}{\partial x}\dfrac{\partial G}{\partial y_2} + \dots $
подразумевает, что на самом деле есть два отображения: $y\colon\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}^n,\quad g\colon\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R},$ и окончательное отображение есть композиция: $G=g\circ y.$ Обозначать $G$ и $g$ одной буквой - вольность именно физиков, а математики предпочитают тут сохранять чёткие различия. (Для физиков, вообще, "буква функции" больше значит не функцию саму по себе, а физическую величину, которая этой функцией вычисляется.)

Тогда это выражение пишется как
$\dfrac{\partial G}{\partial x}=\Bigl(\dfrac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^1\Bigl(\dfrac{\partial g}{\partial y}\Bigr)_1+\Bigl(\dfrac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^2\Bigl(\dfrac{\partial g}{\partial y}\Bigr)_2+\ldots=\sum\limits_i\Bigl(\dfrac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^i\Bigl(\dfrac{\partial g}{\partial y}\Bigr)_i$
Обратите внимание, что справа символа $G$ не осталось вообще.

Такое преобразование нельзя воспринимать как выражение для частной производной $\dfrac{\partial}{\partial x}.$ Здесь существеннейше использовано то, что $G$ - композиция. Если бы вместо данной композиции были бы какие-то другие функции: $\eta\colon\mathbb{R}\mapsto M,\quad \gamma\colon M\mapsto\mathbb{R},\quad G=\gamma\circ\eta,$ то и выражение было бы совсем другим. Это же относится и к вашему первоначальному выражению. Оно некорректно само по себе, а требует применения к некоторой композиции $\mathcal{G}\circ y,$ где $\mathcal{G}$ - функционал (функция от функции).

$\dfrac{\delta}{\delta y_s}$ называется функциональной производной, предмет - функциональный анализ, подраздел - вариационное исчисление (иногда излагается отдельно). Также полезно познакомиться с анализом на многообразиях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование производной к функциональной производной
Сообщение25.07.2016, 02:47 
Аватара пользователя


16/07/10
141
Украина/Харьков
Munin в сообщении #1139810 писал(а):
rotozeev
Боюсь, вы не с того конца начали. Вы, случайно, не теоретическую механику читаете?

Нет, это про открытые квантовые системы. А конкретно, вот этот кусочек статьи ( http://www.rmki.kfki.hu/~diosi/prints/1 ... 35p569.pdf ):
Изображение

По идее, это все просто, но я не могу уловить то, как здесь использовано chain rule, которое писалось нами выше. Я нашел в учебнике по функциональному анализу chain rule для функциональных производных, может быть это оно имелось в виду - пока непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование производной к функциональной производной
Сообщение25.07.2016, 09:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
rotozeev в сообщении #1139979 писал(а):
я не могу уловить то, как здесь использовано chain rule

Вроде, вы как раз всё правильно уловили. Да, всё аналогично конечномерному случаю.

Самое близкое, что я нашёл, вот:
https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_derivative#Properties
Вроде бы, то, что нужно, но слишком много дельт, что-то там на \partial упростить ещё можно.

И никакого вывода не даётся, но в конце ссылки на литературу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование производной к функциональной производной
Сообщение25.07.2016, 10:10 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
rotozeev
Ой, так это все серьезно? Прошу прощения за ..... Но, блин, эти ваши физические штучки математика могут до инфаркта довести :D

Видимо, у нас идет речь об отображении $F$, которое последовательности $a=(a_1, a_2, ...)$ ставит в соответствие функцию $Z_a(t)$. Видимо, $F$ действует из $l_2$ в $L_2 (\mathbb{R})$ (но все - комплекснозначное). Поскольку оба пространства - линейные (и гильбертовы), то, видимо, используется стандартные отождествления пространства и касательного пространства (и сопряженного к нему).
Тогда: отображение $z$, которое элементу $a$ ставит в соответствие ЧИСЛО $Z_a(t)$ ($t$ сейчас фиксировано) есть композиция $q\circ F$, где $q$ ставит в соответствие функции $x \in L_2$ ее значение $x(t)$ в точке $t$. Поэтому, по правилу дифф-я сложной функции (цепное правило), $z' = q' \circ F'$ (т.к. все отображения линейны, и все касат. пр-ва отождествлены, то точки, в которых взяты производные, можно опустить. Т.е., стандарт: дифференциал линейного отображения совпадает с ним самим). Наконец, в линейном пространстве $L_2$ используется стандартный базис из экспонент, с коэф-тами. Элемент касательного пространства $\delta Z_a(.)$ (приращение ф-ции $Z_a(.)$) разлагается по тому же базису . Отождествление пространства и ему сопряженного в гильбертовом пространстве делается через скалярное произведение (которое - в случае $L_2$ и есть наш интеграл: $(f,g) = \int\limits_{}^{} f(s)\cdot g^{\ast}(s)ds $). Вот в результате и получилось первое равенство. Второе следует из (последней) формулы (13) (и даже звездочка - на месте).

(Оффтоп)

И - извините еще раз за непонимание.

(Оффтоп)

Ой, была опечатка в формуле для производной - порядок не тот. Исправил

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group