Предел

[boriska]

Доказать существование предела и найти его. Последовательность задана условиями:

$x_1=\dfrac{1}{21}$, и $x_n=x_{n-1}+\dfrac{1}{(4n-1)(4n+3)}$

Можно заметить, что $x_k=\displaystyle\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{(4n-1)(4n+3)}$

Далее нужно уже разбираться с пределом частичных сумм.

Существование пробовал доказывать через теорему Вейештрасса. Монотонность очевидна, но вот ограниченность неочевидна.

$x_k=\displaystyle\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{(4n-1)(4n+3)}\leqslant \displaystyle\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{(4n-1)^2}=\dfrac{1}{9}+\displaystyle\sum_{n=2}^k\dfrac{1}{(4n-1)^2}\leqslant \dfrac{1}{9}+$

$ +\displaystyle\sum_{n=2}^k\dfrac{1}{(4n-4)^2}= \dfrac{1}{9}+\displaystyle\sum_{m=1}^{k-1}\dfrac{1}{(4m)^2}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}\displaystyle\sum_{m=1}^{k-1}\dfrac{1}{m^2}$

Теперь нужно доказать ограниченность сверху вот этой штуки $\displaystyle\sum_{m=1}^{k-1}\dfrac{1}{m^2}$.

Но как это сделать?

Как найти предел. Из каких соображений. Еще, оказывается, в ответе должен быть множитель $\pi$. Но как он может здесь появиться?

И еще, возможно ли это сделать без интегралов?

[Otta]

boriska в сообщении #1138263 писал(а):

Можно заметить, что $x_k=\displaystyle\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{(4n-1)(4n+3)}$

И разложите каждое слагаемое в сумму простейших дробей.

[boriska]

Спасибо.

$\dfrac{1}{(4n-3)(4n+3)}=\dfrac{1}{2(4n-3)-\dfrac{1}{2(4n-1)}$


А как дальше, отдельно полученные суммы не свернуть тоже.

[Otta]

1) Исправьте все опечатки.
2) Вы не пробовали.

[boriska]

Спасибо. Очень торопился, потому опечатался при наборе.

$\dfrac{1}{(4n-3)(4n+3)}=\dfrac{1}{2(4n-3)}-\dfrac{1}{2(4n-1)}$

Тогда исходную сумму можно переписать в виде.

$x_k=\displaystyle\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{(4n-1)(4n+3)}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{4n-3}-\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{4n-1}$

Дальше пока что идей, к сожалению, нет.

-- 16.07.2016, 22:53 --

Спасибо. Очень торопился, потому опечатался при наборе.

$\dfrac{1}{(4n-3)(4n+3)}=\dfrac{1}{2(4n-3)}-\dfrac{1}{2(4n-1)}$

Тогда исходную сумму можно переписать в виде.

$x_k=\displaystyle\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{(4n-1)(4n+3)}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{4n-3}-\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{4n-1}$

Дальше пока что идей, к сожалению, нет.

[Otta]

boriska в сообщении #1138305 писал(а):

$\dfrac{1}{(4n-3)(4n+3)}=\dfrac{1}{2(4n-3)}-\dfrac{1}{2(4n-1)}$

Сейчас зачем торопитесь?

[ewert]

Otta в сообщении #1138306 писал(а):

Сейчас зачем торопитесь?

boriska, это был намёк на то, что у Вас скобки в правых знаменателях какие-то странные.

[boriska]

Точно, извините, вот так будет:

$\dfrac{1}{(4n-3)(4n-1)}=\dfrac{1}{2(4n-3)}-\dfrac{1}{2(4n-1)}$

[Otta]

Еще раз. Там плюс тройка.

[Koncopd]

$\sum_{m=1}^{k-1}\frac {1}{m^2}\leq\sum_{m=1}^{\infty}\frac {1}{m^2} $

[Otta]

Koncopd
Это зачем?

[Koncopd]

Otta
Ну boriska же хотел доказать ограниченность "этой штуки" в первоначальном посте.

[Otta]

(Оффтоп)

А. Дык это он зря хотел.

[ewert]

(Оффтоп)

Koncopd в сообщении #1138330 писал(а):

Ну boriska же хотел доказать ограниченность "этой штуки" в первоначальном посте.

Он не только это хотел. Точнее, его далеко не только это хотели. Но даже если бы и только это -- подсказали Вы довольно невнятно.

[demolishka]

(to boriska)

Почитайте на досуге. Это не к решению данной задачи, а просто ради развернутого ответа на вопрос, который у Вас появился в ходе ее решения.