Сумма числа делителей суммы цифр и суммы цифр чсла делителей

[Ktina]

Доказать, что в последовательности 2 4 4 6 4 8 4 8 6 5 4 8 5 6 ... встретятся все натуральные числа, кроме 1.

(формула энного члена: $\tau(S(n))+S(\tau(n))$, тау это число делителей, $S$ - сумма десятичных цифр)

(Оффтоп)

И почему этой последовательности нет в OEIS?

[kumino]

Вроде бы, получилось...

(Оффтоп)

Лемма: для любого натурального $a$, дающего остаток 0,1,4 или 7 при делении на 9, найдётся натуральное число $b$ такое, что $\tau(S(b^2))+S(\tau(b^2)) =a $.
Доказательство: разделим $a$ на 9 с остатком, пусть $a = 9c+ d$. Тогда возможны 4 случая:
1) $d = 0$. Тогда подходит $b=10^c-1$.
2) $d = 1$. Тогда подходит $b=2\cdot 10^c-1$.
3) $d = 4$. Тогда подходит $b=3\cdot 10^c-1$.
4) $d = 7$. Тогда подходит $b=5\cdot 10^{c+1}-1$.
Теперь пусть $m$ - взаимно простое с 10 натуральное число число. Тогда $\tau(S(10^k\cdot m))+S(\tau(10^k\cdot m)) = \tau(S(m))+S((k+1)^2\cdot \tau(m)) $.
1) Если мы подставим $m = 1$, то получим $1+S((k+1)^2)$, значит, в силу леммы $\tau(S(n))+S(\tau(n))$ принимает все натуральные значения, дающие остатки 1,2,5,8 при делении на 9(кроме 1).
2) Если мы подставим $m = 103243 = 43 \cdot 7^4$, то $\tau(m)=10$, и получим $2+S((k+1)^2)$, значит, в силу леммы $\tau(S(n))+S(\tau(n))$ принимает все натуральные значения, дающие остатки 2,3,6,0 при делении на 9.
3) Если мы подставим $m = 1053 = 13 \cdot 3^4$, то $\tau(m)=10$, и получим $3+S((k+1)^2)$, значит, в силу леммы $\tau(S(n))+S(\tau(n))$ принимает все натуральные значения, дающие остатки 3,4,7,1 при делении на 9.
Таким образом, задача решена.

[maxal]

Ktina в сообщении #1137725 писал(а):

И почему этой последовательности нет в OEIS?

Потому что вы не добавили

[arseniiv]

Ktina в сообщении #1137725 писал(а):

И почему этой последовательности нет в OEIS?

Ну так там и так десятичных последовательностей много. Не уверен, что, однако, они должны возникать часто у разных людей, чтобы их всенепременно добавлять. Хотя, наверно, часть редакторов OEIS и имеет позицию «чем больше, тем лучше, а номеров на всех хватит».

[worm2]

В OEIS недавно был стон: вы, мол, задолбали уже свои последовательности слать, лучше бы помогли материально, у нас серверов не хватает.

[Ktina]

kumino
Спасибо!